~Sir Francis Galton
El palo de tally tradicional tiene una historia muy larga. He escrito sobre esto antes, pero quería agregar algunas notas para hacer una inclusión algo más completa de algunos otros tipos de marcas de conteo que han sido (y algunas aún lo son) de uso común.
El término «conteo» proviene del nombre de una barra o tableta en la que se hicieron recuentos para mantener un conteo o una partitura. La raíz latina es talea y está estrechamente relacionada con el origen de sastre, «el que corta». Muchas palabras matemáticas tienen orígenes que reflejan los primeros y más primitivos usos de los números. Compare los orígenes de la computación, los dígitos y la puntuación.
También se han utilizado cuentas y nudos en acordes para tallys. Todavía estoy buscando detalles sobre su uso y los modificaré a medida que encuentre más detalles. * Wik
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Alrededor de 1960 se descubrió un antiguo registro matemático de huesos en el área africana de Ishango, cerca del lago Edward. Si bien en un principio se consideró un antiguo palo de conteo (9000 a. C.), muchos ahora piensan que representa la tabla más antigua de números primos.
El primer registro existente de marcas de conteo se encuentra en un hueso de la pierna de un mandril que data antes del 30.000 a.C. El hueso tiene 29 muescas claras seguidas. Fue descubierto en una cueva en el sur de África. A veces se le llama Hueso Lebombo por las montañas Lebombo en las que se encontró. La edad exacta de estos artefactos es un tema de debate, y su uso matemático es algo especulativo. Algunas fuentes han declarado que el hueso es un contador de fases lunares, y por implicación que las mujeres africanas fueron las primeras matemáticas desde que llevar un registro de los ciclos menstruales requiere un calendario lunar.
Otro candidato para el registro de cuentas más antiguo de la historia es un hueso de lobo encontrado en Checoslovaquia con 57 muescas profundas cortadas en él, algunas de las cuales parecen estar agrupadas en grupos de cinco.
El recuento dividido fue una técnica que se hizo común en la Europa medieval, que estaba constantemente corta de dinero (monedas) y predominantemente analfabeta, con el fin de registrar el intercambio bilateral y las deudas. Un palo (el cuadrado de hazelwood palos eran las más comunes) fue marcado con un sistema de muescas y luego se divide longitudinalmente. De esta manera, las dos mitades registran las mismas muescas y cada parte de la transacción recibió la mitad de la barra marcada como prueba. Más tarde, esta técnica se refinó de varias maneras y se volvió prácticamente a prueba de manipulaciones. Uno de los refinamientos fue hacer las dos mitades del palo de diferentes longitudes. La parte más larga se llamaba stock y se entregaba a la parte que tenía dinero adelantado (u otros artículos) al receptor. La porción más corta del palo se llamaba papel de aluminio y se entregaba a la parte que había recibido los fondos o bienes. Utilizando esta técnica, cada una de las partes tenía un registro identificable de la transacción. Las irregularidades naturales en las superficies de los recuadros donde se dividieron significarían que solo las dos mitades originales encajarían perfectamente, y así verificarían que coincidieran con las mitades de la misma transacción. * Wik
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En Mathematics Galore de Budd y Sangwin, hay una historia de palos de conteo mucho más recientes. Parece que hasta alrededor de 1828 los británicos llevaban registros de impuestos y otros registros en palos de madera. Cuando se suspendió el sistema, se quedaron con un enorme residuo de palos de madera, por lo que en 1834 decidieron hacer una hoguera para deshacerse de ellos. La hoguera fue un éxito tal que quemó los edificios del parlamento hasta los cimientos. Lo que Guy Fawkes no pudo hacer con dinamita el Tesoro hizo con palos de conteo…. El poder de las matemáticas.
La historia, por improbable que parezca, se ve modificada por un discurso de Charled Dickens 1855. La versión algo recortada a continuación está tomada de Number, The Language of Science de Tobias Dantzig (pgs 23&24)
Hace siglos, se introdujo en el Tribunal de Hacienda un modo salvaje de llevar las cuentas en palos con muescas y las cuentas se mantenían de la misma manera que Robinson Crusoe mantenía su calendario en la isla desierta. Una multitud de contadores, tenedores de libros y actuarios nacieron y murieron… Todavía la rutina oficial se inclinaba a esos palos con muescas como si fueran pilares de la Constitución, y aún así las cuentas del Tesoro seguían manteniéndose en ciertas tablillas de madera de olmo llamadas cuentas. En el reinado de Jorge III, un espíritu revolucionario hizo una investigación sobre si, al existir bolígrafos, tinta y papel, pizarras y lápices, debía continuar esta obstinada adhesión a una costumbre obsoleta ….. Toda la burocracia en el país se hizo más roja ante la mera mención de esta concepción audaz y original, y tardó hasta 1826 en abolir estos palos. En 1834 se descubrió que había una considerable acumulación de ellos; y surgió entonces la pregunta: ¿qué se iba a hacer con esos pedazos de madera viejos, gastados, carcomidos y podridos? Los palos estaban alojados en Westminster, y naturalmente ocurriría a cualquier persona inteligente que nada podría ser más fácil que permitir que las personas miserables que vivían en ese vecindario los llevaran a buscar leña. Sin embargo, nunca habían sido útiles, y la rutina oficial requería que nunca lo fueran, por lo que se dio la orden de que fueran quemados en privado y confidencialmente. Sucedió que fueron quemados en una estufa en la cámara de los Lores. La estufa, llena de estos varas absurdas, prendió fuego a los paneles; los paneles prendieron fuego a la Cámara de los Comunes; las dos casas se redujeron a cenizas; se llamó a arquitectos para construir otras; y ahora estamos en el segundo millón del costo de la casa.
Varias imágenes del fuego fueron pintadas por J. M. W. Turner, quien observó el fuego desde un barco en el Támesis. Tengo un clip que no puedo acreditar que dice: «El incendio de 1834 quemó la mayor parte del Palacio de Westminster. La única parte que queda de 1097 es Westminster Hall. Los edificios que reemplazan a los elementos destruidos incluyen la torre del Big Ben (oooh, barra lateral)… Big Ben no es el nombre de la torre de Westminster, es el nombre de la gran Campana en las Campanas de allí.. admítelo, no lo sabías, bueno, al menos no lo sabía hasta hace poco), con sus cuatro caras de reloj de 23 pies, construidas en un rico estilo gótico tardío que ahora forman las Casas de los Comunes y la Cámara de los Lores. Estos magníficos edificios siguen siendo objeto de muchas pinturas, incluido mi propio Parlamento, con la gran Abadía de Westminster al norte.»El de abajo cuelga en una galería en Cleveland, Ohio.
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Muchas culturas usan símbolos numéricos que reflejan este enfoque de conteo para los números más bajos. El japonés, por ejemplo, utiliza barras horizontales para representar los tres primeros números.
La idea de crear palos de conteo para registrar las cantidades acordadas puede ser sugerida por el carácter chino para contrato, que muestra el carácter para cuchillo con el carácter para palo. (o eso me dicen aquellos que son mejores en la lectura de kanji que yo)
El problema con la marca de conteo tradicional, es que los números más grandes comienzan a ser difíciles de contar. Por ejemplo, trate de determinar rápidamente el número de víctimas indicado por este letrero que encontré en Wikipedia:
En algún momento se desarrollaron métodos para contrarrestar esto. Nuestra puntuación de palabras para veinte (ya sabes, cuatro puntos y veinte años atrás..) se cree que proviene de hacer un corte transversal más distinto para facilitar el conteo de grupos grandes. El uso de una quinta marca inclinada a través de los primeros cuatro en grupos de cinco también es ahora común para estos tipos de tallys. Hoy en día, nuestros pasatiempos más populares nos recuerdan nuestros comienzos matemáticos, ya que informan los «puntajes» deportivos, el número de notas para cada equipo.
James A. Landau se dio cuenta de un rompecabezas sobre el uso de la partitura. Escribe: «Revisé el Oxford English Dictionary, 2ª Edición y encontré que la primera cita para» threescore «fue en 1388, para» fourscore «fue en 1250, y para» sixscore » fue en 1300. No hubo entradas para twoscore, fivescore, sevenscore, eightscore o ninescore, lo cual es un poco curioso. ¿Por qué la gente solo empezaría a contar por puntuaciones a los 60 y dejaría de fumar después de los 120?»
Solía haber una unidad llamada shock para grupos de puntuación de 3. La siguiente cita proviene de un post de John Conway. «La mayoría de las principales lenguas europeas tuvieron un descanso después de los 60, que generalmente tenían un nombre especial propio ; por ejemplo, fue un «shock» en inglés antes de convertirse en «three score». En Isabelino veces, los nombres estándar para 60,70,80,90 fueron «sesenta», «setenta», «ochenta» y «ochenta y diez» y a los otros idiomas Europeos hicieron lo mismo. La palabra shock como cantidad persistió en el uso estadounidense (aunque en una forma ligeramente modificada) al menos hasta 1919, cuando se publicó el poema de James Whitcomb Riley, «When the Frost is on the Punkin». La primera línea dice: «CUANDO la escarcha está en el punkin y el forraje en el choque», pero en este momento parece que los paquetes de tallos de maíz, agrupados y secos para usarlos como alimento, o forraje, pueden no haber reflejado una cuenta de sesenta tanto como la cantidad que se podría unir convenientemente.
Otros métodos de recuento han aparecido en diferentes lugares. Me imagino que la mayoría son más recientes, pero sus historias parecen muy difíciles de rastrear (Si tiene información sobre el uso temprano de cualquiera de los siguientes, me encantaría saber de ellos.)
Wikipedia tiene varias representaciones, como la de abajo, que acreditan a las culturas francesa y española.
Nunca he visto esto, y no sé si todavía es de uso común.donde. («Cualquiera, cualquiera.») Me imaginé casi al instante que podía ensamblarse en grupos de cuatro para hacer una partitura, o cualquier número cerca de una partitura, progresando en algún orden hacia algo como esto, que imagino que podría verse rápidamente como 18:
Vacilé entre si las cuatro diagonales en un rombo o una matriz X serían mejores, pero evité la X debido a su asociación con diez en números romanos y demás.
Los trazos sucesivos del carácter chino para completar, o correcto (parece tener una variedad de aplicaciones contextuales) 正 (
) se utilizan en China, Japón y Corea para designar recuentos de votos, puntajes, puntos, pedidos de sushi y similares, como
se utiliza en Europa, África, Australia y América del Norte. Los recuentos de más de cinco se escriben con un 正 para cada grupo de cinco, seguido del resto. Por ejemplo, una cuenta de doce
se escribe como 正正丅. He leído que este método se remonta a finales de la dinastía Qing, principios del período republicano (alrededor de finales del siglo XIX).
John D Cook tenía algunas notas que incluían las marcas de conteo que se muestran a continuación, que acreditó al matemático/estadístico John Tukey. El método en realidad se remonta a su uso temprano en la industria forestal en las Américas como un método de mantenimiento de cuentas. Mi primera notación es de Forest mensuration de Carl Alwin Schenck, 1898 pg 47.
El método de conteo final que he visto proviene de la experiencia personal, y no puedo encontrar registro de él en ningún lugar. Era un método que mis padres usaban para anotar en los juegos de dominó. El método que ellos, y la mayoría de los demás, juegan, puntúa en múltiplos de cinco, por lo que el único método necesario era cuántos múltiplos de cinco se habían anotado. Su método muestra los primeros cinco puntos como una diagonal más grande, / y los cinco siguientes producen una cruz grande, X. Después procederían a rellenar barras más pequeñas y x en los cuatro espacios alrededor de la primera X. De modo que después de 35 puntos (7 marcadores de cinco puntos) la puntuación mostraría algo como esto:
Dado que el juego se jugó a 100 (o 20 puntajes de cinco puntos), dos de estos completados indicarían una victoria.
No he visto esto en ningún lugar que haya buscado, pero creo que debe ser bastante común, al menos entre los jugadores de dominó en el suroeste de Estados Unidos. Si está familiarizado con esto y puede dar fechas de uso registradas antes de aproximadamente 1950, me encantaría esa información también.
Mientras tanto, seguiré buscando y actualizando a medida que obtenga nueva información.
Como nota al pie, Thony Christie escribió para decirme que » En los bares alemanes, las bebidas todavía se cuentan en las esteras de cerveza. «Tomo esto como de su experiencia directa.
Cuentas y nudos como contadores El primer uso de cuentas como contadores puede haber sido el desarrollo de cuentas de oración. Las cuentas se encuentran entre los primeros adornos humanos y las cuentas de concha de avestruz en África datan del año 10.000 a.C. A lo largo de los siglos, varias culturas han hecho cuentas de una variedad de materiales, desde piedra y conchas hasta arcilla. Se desconoce cuánto tiempo se han utilizado para contar las oraciones, pero un sitio de Wikipedia señala una estatua de un hombre hindú sagrado con cuentas que datan del siglo III a.C. La palabra en inglés bead deriva del sustantivo en inglés antiguo bede, que significa oración.
Las cuentas de oración son un poco diferentes, en mi mente, de las cuentas típicas en que el objetivo no es registrar el número contado, sino contar hasta un número predeterminado sin distraer la atención en la oración o la bendición. En algunas religiones, las cuerdas anudadas se usan para el mismo propósito.
Las cuentas en una cuerda para calcular se describen ya en el siglo II. Estos suanpan, o abacci chino, tampoco son dispositivos de recuento en mi mente, sino más bien un dispositivo de cálculo. Sin embargo, otros que han desperdiciado parte de su juventud, como yo, en salas de billar más antiguas saben que con frecuencia tenían cuentas en una cuerda de alambre encima de la mesa para marcar el número de puntos anotados para cada jugador en ciertos juegos. Vi un juego de futbolín de mesa con un dispositivo similar recientemente. Pero recuento con nudos parece haber estado en uso en muchas culturas.
En el sitio en línea de Convergencia de MAA, el destacado historiador de matemáticas Frank Swetz da esta descripción del uso incaico de cuerdas anudadas
Los quipus eran cuerdas anudadas utilizadas por la Civilización Inca de América del Sur (1400-1560). El sistema consistía en un cordón principal del que se unía un número variable de cordones colgantes. Cada cordón colgante contenía grupos de nudos. Estos nudos y sus grupos transmitieron información numérica. En algunos casos complejos, se adjuntaron más cordones colgantes a estos colgantes primarios. El número, el tipo de nudos y el espaciado de nudos y grupos, así como la matriz de colgantes, transmitieron información particular. Otra dimensión de este sistema era el uso del color: diferentes colgantes se teñían de diferentes colores, transmitiendo diferentes significados. Uno de los pocos registros existentes del uso del quipú se encuentra en la Crónica del Buen Gobierno (1615/1616), escrita en español por el autor inca Guamán Poma de Ayala.
Estas quipas pueden haber sido más un dispositivo de grabación que un dispositivo de conteo, pero el uso del profesor Swetz del «conteo» en su descripción me hace pensar que bien podrían haber tenido propósitos de conteo también.
También, en The Number Concept de Levi Leonard Conant, habla de » Mom Cely, una negra sureña de edad desconocida, se encuentra en deuda con el tendero; y, reacia a creer que la cantidad es tan grande como él representa, procede a investigar el asunto a su manera peculiar. Había hecho un recuento de estas compras por medio de una cuerda, en la que ataba nudos conmemorativos.'»
También he visto varios libros para niños que sugieren que las «cuerdas para contar» se empleaban en la cultura navaja en los Estados Unidos, pero no tengo idea de cuán históricas son estas historias. Así que al menos parece que las cuerdas para contar se usaron en algunas culturas para contar.