Ecuación de giro
El movimiento de una máquina síncrona se rige por la ley de rotación de Newton, que establece que el producto del momento de inercia multiplicado por la aceleración angular es igual al par de aceleración neto. Matemáticamente, esto puede expresarse de la siguiente manera:
$\begin{matrix} J \ alpha = {{T}_{a}}={{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \izquierda (1 \derecha) \\ \ end{matriz}
La ecuación 1 también se puede escribir en términos de la posición angular de la siguiente manera:
\ \ begin{matrix} J\frac {{{d}^{2}} {{\theta} _{m}}} {d {{t}^{2}}}={{T}_{a}}={{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \izquierda( 2 \derecha) \\\end{matriz}
donde
J = momento de inercia del rotor
Ta = par de aceleración neto o suma algebraica de todos los pares que actúan sobre la máquina
Tm = par de eje corregido para las pérdidas de rotación, incluidas la fricción y el viento y las pérdidas de núcleo
Te = par electromagnético
Por convención, los valores de Tm y Te se toman como positivos para la acción del generador y negativos para la acción motora.
Para los estudios de estabilidad, es necesario encontrar una expresión para la posición angular del rotor de la máquina en función del tiempo t. Sin embargo, debido a que el ángulo de desplazamiento y la velocidad relativa son de mayor interés, es más conveniente medir la posición angular y la velocidad angular con respecto a un marco de referencia de rotación sincrónica con una velocidad sincrónica de${{\omega }_{sm}}$. Por lo tanto, la posición del rotor se puede describir de la siguiente manera:
$\begin{matriz} {{\theta }_{m}}={{\omega }_{sm}}+{{\delta }_{m}} & {} & \a la izquierda( 3 \derecho) \\\end{matriz}$
Los derivados de θm puede ser expresado como
$\begin{align} & \begin{matriz} \frac{d{{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{sm}}+\frac{d{{\delta }_{m}}}{dt} & {} & \a la izquierda( 4 \derecho) \\\end{matriz} \\ & \begin{matriz} \frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}=\frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}} & {} & \a la izquierda( 5 \derecho) \\\end{matriz} \\\end{align}$
la Sustitución de Eq. 5 en Ec. 2 rendimientos
J J \ begin{matrix} \frac {{{d}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d {{t}^{2}}}={{T}_{a}}={{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \izquierda (6 \ derecha) \ \ \ end{matriz}
Multiplicando la Ec. 6 por la velocidad angular del rotor transforma la ecuación de par en una ecuación de potencia. Por lo tanto,
$J{{\omega }_{m}}\begin{matriz} \frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{\omega }_{m}}{{T}_{a}}={{\omega }_{m}}{{T}_{m}}-{{\omega }_{m}}{{T}_{e}} & {} & \a la izquierda( 7 \derecho) \\\end{matriz}$
Reemplazar ${{\omega }_{m}}T$P y $J{{\omega }_{m}}$ por M, el llamado swing ecuación se obtiene. La ecuación de oscilación describe cómo el rotor de la máquina se mueve, o se balancea, con respecto al marco de referencia de rotación sincrónica en presencia de una perturbación, es decir, cuando la potencia de aceleración neta no es cero.
M M \ begin{matrix} \frac {{{d}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d {{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P} _ {m}} – {{P} _ {e}} & {} & \izquierda( 8 \derecha) \\\end{matriz}
donde
M = Jw = constante de inercia
Pa = Pm– Pe = potencia de aceleración neta
Pm = wTm = entrada de potencia del eje corregida para las pérdidas de rotación
Pe = wTe = salida de potencia eléctrica corregida para las pérdidas eléctricas
Se puede observar que la constante de inercia se tomó igual al producto del momento de inercia J y la velocidad angular wm, que en realidad varía durante a disturbio. Sin embargo, siempre que la máquina no pierda sincronismo, la variación en wm es bastante pequeña. Por lo tanto, M generalmente se trata como una constante.
Otra constante, que se usa a menudo porque su rango de valores para tipos particulares de máquinas giratorias es bastante estrecho, es la llamada constante de inercia normalizada H. Está relacionada con M de la siguiente manera:
H\begin{matrix} H= \ frac{1}{2}\frac {M {{\omega} _{sm}}} {{{S} _ {nominal}}} {}^{MJ} / {}_{MVA} & {} & \izquierda (9 \ derecha) \ \ \ end{matriz}
Resolviendo para M de la Ec. 9 y la sustitución en 8 produce la ecuación de oscilación expresada en por unidad. Así,
\
Se puede observar que el ángulo δm y la velocidad angular wm en la Ec. 10 se expresan en radianes mecánicos y radianes mecánicos por segundo, respectivamente. Para un generador síncrono con polos p, el ángulo de potencia eléctrica y la frecuencia de radianes están relacionados con las variables mecánicas correspondientes de la siguiente manera:
\ \ begin{matrix} \begin{align} & \ delta \ left (t \ right)=\frac{p}{2} {{\delta} _{m}} \ left (t \ right) \ \ & \ omega \ left( t\right)=\frac{p}{2} {{\omega }_{m}} \left (t \right) \\ \ end{align} & {} & \izquierda (11 \ derecha) \ \ \ end{matriz}
Del mismo modo, la frecuencia de radianes eléctricos síncronos está relacionada con la velocidad angular síncrona de la siguiente manera:
begin \ begin{matriz} {{\omega} _{s}}=\frac {p} {2} {{\omega} _ {sm}} & {} & \left (12 \ right) \ \ \ end{matrix}
Por lo tanto, la ecuación de oscilación por unidad de la Ec. 10 puede expresarse en unidades eléctricas y adopta la forma de Ec. 13.
\ \ frac{2H} {{{\omega} _{s}}} \ begin {matrix} \frac {{{d}^{2}} \ delta} {d {{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P} _ {m}} – {{P} _ {e}} & {} & \izquierda (13 \ derecha) \ \ \ end{matriz}
Dependiendo de la unidad del ángulo δ, Ec. 13 toma la forma de cualquiera de las Ec. 14 o Ec. 15. Por lo tanto, la ecuación de giro por unidad toma la forma:
$\frac{H}{\pi f}\begin{matriz} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \a la izquierda( 14 \derecho) \\\end{matriz}$
Cuando δ es en grados eléctricos, o
$\frac{H}{180f}\begin{matriz} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \a la izquierda( 15 \derecho) \\\end{matriz}$
Cuando δ es en grados eléctricos.
Cuando se produce una perturbación, se produce un desequilibrio en la entrada de potencia y la salida de potencia, produciendo un par de aceleración neto. La solución de la ecuación de oscilación en forma de ecuación diferencial de (14) o (15) se denomina apropiadamente curva de oscilación δ (t).