ecuația oscilantă
mișcarea unei mașini sincrone este guvernată de Legea de rotație a lui Newton, care afirmă că produsul momentului de inerție ori accelerația unghiulară este egal cu cuplul net de accelerare. Matematic, acest lucru poate fi exprimat după cum urmează:
$\începe{matrix} J \ alpha = {{T} _ {a}} = {{T} _ {m}}-{{T} _ {e}} & {} & \stânga (1 \ dreapta) \\ \ end{matrix} $
ecuația 1 poate fi scrisă și în termeni de poziție unghiulară după cum urmează:
$ \ begin {matrix} J \ frac{{{d}^{2}} {{\theta } _ {m}}}{d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}} = {{T} _ {m}}-{{T} _ {e}} & {} & \stânga (2 \dreapta) \\ \ end{matrix}$
unde
J = momentul de inerție al rotorului
Ta = cuplul net de accelerare sau suma algebrică a tuturor cuplurilor care acționează asupra mașinii
Tm = cuplul arborelui corectat pentru pierderile de rotație, inclusiv fricțiunea și înfășurarea și pierderile de miez
Te = cuplul electromagnetic
prin convenție, valorile TM și te sunt considerate pozitive pentru acțiunea generatorului și negative pentru acțiunea motorului.
pentru studiile de stabilitate, este necesar să se găsească o expresie pentru poziția unghiulară a rotorului mașinii în funcție de timpul t. cu toate acestea, deoarece unghiul de deplasare și viteza relativă prezintă un interes mai mare, este mai convenabil să se măsoare poziția unghiulară și viteza unghiulară în raport cu un cadru de referință Rotativ sincron cu o viteză sincronă de${{\omega }_{sm}}$. Astfel, poziția rotorului poate fi descrisă de următoarele:
$ \ begin {matrix} {{\theta } _ {m}}={{\omega } _{sm}}+{{\delta } _ {m}} & {} & \stânga (3 \ dreapta) \ \ \ end{matrix} $
derivatele de la colosm pot fi exprimate ca
$ \ begin{align} & \ begin{matrix} \ frac{d {{\theta } _ {m}}} {dt} = {{\omega } _{sm}}+ \ frac{d {{\delta} _{m}}}{dt} & {} & \Stânga (4 \ dreapta) \ \ \ end{matrix} \ \ & \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\theta } _ {m}}} {d{{t}^{2}}= \ frac{{{d}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d{{t}^{2}}} & {} & \stânga (5 \ dreapta) \\\end{matrix} \ \ \ end{align}$
înlocuind Eq. 5 în Eq. 2 produce
$ J \ begin {matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}}{d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}} = {{T} _ {m}}-{{T} _ {e}} & {} & \stânga (6 \ dreapta) \ \ \ end{matrix}$
înmulțirea Eq. 6 prin viteza unghiulară a rotorului transformă ecuația cuplului într-o ecuație de putere. Astfel,
$ J {{\omega } _ {m}} \ begin {matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{\omega }_{m}}{{T} _ {a}}={{\omega } _ {m}}{{T} _ {m}}-{{\omega } _ {m}}{{T} _ {e}} & {} & \stânga (7 \ dreapta) \\ \ end{matrix}$
înlocuind ${{\omega }_{m}}t$cu P și $J {{\omega }_{m}}$ cu M, se obține așa-numita ecuație swing. Ecuația oscilantă descrie modul în care rotorul mașinii se mișcă sau se leagănă în raport cu Cadrul de referință Rotativ sincron în prezența unei perturbații, adică atunci când puterea netă de accelerare nu este zero.
$ m \ begin {matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}} {d {{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P} _ {m}}-{{P}_{e}} & {} & \stânga( 8 \dreapta) \\\end{matrix}$
unde
M = Jw = inerție constantă
Pa = Pm– Pe = putere netă de accelerare
Pm = WTM = putere arbore de intrare corectată pentru pierderile de rotație
Pe = WTE = putere electrică corectată pentru pierderile electrice
se poate observa că constanta de inerție a fost luată egală cu produsul momentului de inerție J și viteza unghiulară WM, care variază de fapt în timpul unui tulburări. Cu condiția ca mașina să nu piardă sincronismul, totuși, variația în wm este destul de mică. Astfel, M este de obicei tratat ca o constantă.
o altă constantă, care este adesea folosită deoarece gama sa de valori pentru anumite tipuri de mașini rotative este destul de îngustă, este așa-numita Constantă de inerție normalizată H. este legată de M după cum urmează:
$ \ begin{matrix} H = \ frac{1}{2}\frac{m{{\omega } _ {sm}}} {{{S}_{evaluat}}} {}^{MJ} / {} _ {MVA} & {} & \stânga (9 \ dreapta) \ \ \ end{matrix}$
rezolvarea pentru M din Eq. 9 și înlocuirea în 8 produce ecuația swing exprimată în pe unitate. Astfel,
\
se poate observa că unghiul de unghi și viteza unghiulară WM în Eq. 10 sunt exprimate în radiani mecanici și, respectiv, radiani mecanici pe secundă. Pentru un generator sincron cu poli p, unghiul de putere electrică și frecvența radiană sunt legate de variabilele mecanice corespunzătoare după cum urmează:
$ \ begin {matrix} \ begin {align} & \ delta \ left (t\right)= \ frac{p}{2} {{\delta } _ {m}} \ left (t \ right) \ \ & \omega \left( t \ right) = \ frac{p}{2} {{\omega }_{m}} \ left (t \ right) \ \ \ end{align} & {} & \stânga (11 \ dreapta) \ \ \ end{matrix} $
în mod similar, frecvența radiană electrică sincronă este legată de viteza unghiulară sincronă după cum urmează:
$\begin{matrix} {{\omega }_{s}}=\frac{p}{2}{{\omega }_{sm}} & {} & \stânga (12 \ dreapta) \\ \ end{matrix}$
prin urmare, ecuația leagăn pe unitate de Eq. 10 poate fi exprimat în unități electrice și ia forma Eq. 13.
$ \ frac{2h} {{{\omega } _ {s}}} \ începe{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P} _ {m}}-{{P}_{e}} & {} & \stânga (13 \ dreapta) \\ \ end{matrix}$
în funcție de unitatea unghiului de unghi, EQ. 13 ia forma fie Eq. 14 sau Eq. 15. Astfel, ecuația de leagăn pe unitate ia forma:
$ \ frac{H} {\pi f} \ începe{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P} _ {m}}-{{P}_{e}} & {} & \stânga (14 \ dreapta) \ \ \ end{matrix} $
atunci când este în grade electrice, sau
$ \ frac{H}{180F} \ begin {matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P} _ {m}}-{{P}_{e}} & {} & \stânga (15 \ dreapta) \ \ \ end{matrix}$
atunci când se află în grade electrice.
când apare o perturbare, apare un dezechilibru al puterii de intrare și de ieșire, producând un cuplu net de accelerare. Soluția ecuației swing sub forma ecuației diferențiale a lui (14) sau (15) se numește în mod corespunzător curba swing (t).