równanie obrotu maszyny synchronicznej
ruch maszyny synchronicznej jest regulowany przez prawo obrotu Newtona, które stanowi, że iloczyn momentu bezwładności razy przyspieszenia kątowego jest równy netto momentu przyspieszającego. Matematycznie można to wyrazić następująco:
$\begin{matrix} J\alpha ={{T}_{A}}={T}_{M}}-{{T} _ {e}} & {} & \left (1 \right) \ \ \ end{macierz}$
równanie 1 można również zapisać pod względem położenia kątowego następująco:
$ \ begin{matrix} J\frac {{d}^{2}} {{\theta} _{m}} {d {{t}^{2}}}={{T} _ {A}}={{T} _ {m}} – {{T}_{e}} & {} & \left( 2 \right) \\\end{matrix}$
gdzie
J = Moment bezwładności wirnika
Ta = moment przyspieszenia netto lub suma algebraiczna wszystkich momentów obrotowych działających na maszynę
TM = moment obrotowy wału skorygowany o straty obrotowe, w tym tarcie i wiatr oraz straty rdzenia
Te = moment elektromagnetyczny
zgodnie z konwencją wartości TM i te przyjmuje się jako dodatnie dla działania generatora i ujemne dla działania silnika.
do badań stabilności konieczne jest znalezienie wyrażenia dla położenia kątowego wirnika maszyny jako funkcji czasu t. Jednakże, ponieważ kąt przemieszczenia i prędkość względna są bardziej interesujące, wygodniej jest zmierzyć położenie kątowe i prędkość kątową w odniesieniu do synchronicznie obracającej się ramy odniesienia z prędkością synchroniczną${{\omega } _{sm}}$. Zatem położenie wirnika można opisać następująco:
$ \ begin{matrix} {{\theta } _{m}}={{\omega } _ {sm}}+{{\delta} _ {m}} & {} & \left (3 \ right) \ \ \ end{macierz}$
pochodne θm mogą być wyrażone jako
$\begin{align} & \ begin{macierz} \ frac{d {{\theta }_{m}}} {dt}={{\omega } _ {sm}}+\frac{d {{\delta }_{m}}} {dt} & {} & \left (4 \right) \ \ \ end{matrix} \ \ & \ begin{matrix} \ frac {{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d {t}^{2}}}=\frac {{D}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d {t}^{2}}} & {} & \left (5 \right) \\\end{matrix} \\\end{align}$
5 w Eq. 2638>
$j \ begin{matrix} \frac {{d}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d{{t}^{2}}}={{T} _ {A}}={{T} _ {m}} – {{T}_{e}} & {} & \left (6 \right) \\\end{matrix}$
mnożenie Eq. 6 przez prędkość kątową wirnika przekształca równanie momentu obrotowego w równanie mocy.
$j {{\omega }_{m}} \ begin{matrix} \frac {{d}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d{{t}^{2}}}={{\omega} _ {m}} {{T}_{A}}={{\omega} _ {m}} {{T} _ {M}}-{{\omega} _ {m}} {{t}_{e}} & {} & \left (7 \right) \ \ \ end{matrix}$
zastępując ${{\omega } _ {m}}t$przez P I $J {{\omega } _ {m}}$ Przez m otrzymuje się tzw. równanie swinga. Równanie huśtawki opisuje, w jaki sposób wirnik maszyny porusza się lub huśtawka w odniesieniu do synchronicznie obracającej się ramy odniesienia w obecności zakłócenia, to znaczy, gdy siła przyspieszania netto nie jest zerowa.
$m\begin{matrix} \frac {{d}^{2}} {{\delta} _{m}}} {d {{t}^{2}}}={{P} _ {A}}={{P} _ {m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (8 \right) \\\end{matrix}$
gdzie
M = JW = stała bezwładności
Pa = Pm– Pe = moc przyspieszająca netto
Pm = wTm = wał moc wejściowa skorygowana o straty obrotowe
Pe = WTE = moc wyjściowa skorygowana o straty elektryczne
można zauważyć, że stała bezwładności była równa iloczynowi momentu bezwładności J i prędkości kątowej wm, która faktycznie zmienia się podczas zakłócenia. Pod warunkiem, że maszyna nie straci synchronizmu, jednak zmienność w wm jest dość mała. Tak więc M jest zwykle traktowane jako stała.
inną stałą, która jest często używana, ponieważ jej zakres wartości dla poszczególnych typów maszyn wirujących jest dość wąski, jest tak zwana znormalizowana stała bezwładności H. jest ona związana z M następująco:
$ \ begin{matrix} H=\frac{1}{2}\frac{M{{\omega} _{sm}}} {{S} _ {rated}}} {}^{MJ}/{} _ {MVA} & {} & \left (9 \right) \ \ \ end{matrix}$
9 i podstawiając do 8 daje równanie huśtawki wyrażone w jednostce. Tak więc,
\
można zauważyć, że kąt δm i prędkość kątowa wm w równaniu. 10 wyraża się odpowiednio w radianach mechanicznych i radianach mechanicznych na sekundę. W przypadku generatora synchronicznego z biegunami p kąt mocy elektrycznej i częstotliwość radianowa są związane z odpowiednimi zmiennymi mechanicznymi w następujący sposób:
$\begin{matrix} \begin{align} & \delta \left( t \right)=\frac{p}{2}{{\delta }_{m}}\left( t \right) \ \ & \omega \left (t \right)=\frac{p}{2}{{\omega }_{m}} \left( t \right) \\end{align} & {} & \left (11 \right) \ \ \ end{matrix}$
podobnie synchroniczna elektryczna częstotliwość radianowa jest związana z synchroniczną prędkością kątową w następujący sposób:
$ \ begin{matrix} {{\omega }_{s}}= \ frac{p} {2}{{\omega }_{sm}} & {} & \left (12 \right) \ \ \ end{matrix}$
zatem równanie swingowe na jednostkę Eq. 10 może być wyrażona w jednostkach elektrycznych i przybiera postać równoważnika. 13.
$\frac{2h} {{\omega} _{s}}}\begin{matrix} \ frac {{d}^{2}}\delta} {d{{t}^{2}}}={{P} _ {A}}={{P} _ {m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (13 \right) \\\end{macierz}$
w zależności od jednostki kąta δ, Eq. 13 ma postać Eq. 14 lub równoważnik. 15. Zatem równanie huśtawki na jednostkę ma postać:
$\frac{H} {\pi f} \ begin{matrix} \frac {{d}^{2}} \ delta }{d {{t}^{2}}}={{P} _ {A}}={{P} _ {m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (14 \right) \ \ \ end{macierz}$
gdy δ jest w stopniach elektrycznych, lub
$ \ frac{H}{180F} \ begin{macierz} \ frac {{d}^{2}} \ delta }{d {{t}^{2}}}={{P} _ {A}}={{P} _ {m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (15 \right) \ \ \ end{macierz}$
gdy δ jest w stopniach elektrycznych.
gdy wystąpi zakłócenie, następuje niewyważenie na wejściu mocy i na wyjściu mocy, tworząc netto moment przyspieszający. Rozwiązanie równania obrotu w postaci równania różniczkowego (14) lub (15) jest odpowiednio nazywane krzywą obrotu δ (t).