Sezione TA.2
Aree tributarie per carichi gravitazionali
Ultima revisione:11/04/2014
Se la trave sostiene un pavimento, un tetto o una parete con un carico di pressione normale alla superficie, la forza totale sulla trave è uguale all’area di superficie sostenuta (cioè l’area tributaria) volte la pressione sulla superficie.
Si consideri una serie di travetti del pavimento (travi ripetitive) che sostengono un sistema di pavimento come mostrato nel piano di inquadratura in Figura TA.2.1.
Figura TA.2.1
Sistema di inquadratura del pavimento del campione
Dare un’occhiata più da vicino a un singolo travetto, come mostrato in Figura TA.2.2, si può vedere che il sistema di pavimento si estende come un fascio continuo attraverso supporti equidistanti. Si noti che il pavimento si estende da travetto a travetto invece che nella stessa direzione del travetto poiché il pavimento è sostanzialmente più rigido (provare i calcs di deflessione se si desidera!) nella direzione breve. In questa situazione, il sistema del pavimento trasferirà la metà del carico uniformemente distribuito di una campata al travetto su entrambe le estremità della campata del pavimento. Quindi, si può dire che il travetto supporta tutto il carico sull’area mostrata (l’area tratteggiata). Ogni travetto nel sistema sosterrà anche il sistema di pavimento, in modo che tutta la superficie del pavimento è rappresentato.
Figura TA.2.2
Area tributaria del travetto del pavimento
L’area tratteggiata è indicata come l’area tributaria per il travetto. La sua dimensione trasversale al travetto è metà della distanza dal travetto successivo su entrambi i lati (noto anche come larghezza dell’affluente) e la sua lunghezza è la lunghezza del travetto. Il carico totale (in unità di forza) sul travetto è uguale all’area tributaria (unità di area) volte il carico di pressione uniforme (forza per unità di area).
Il diagramma di carico bidimensionale è costruito moltiplicando la larghezza dell’affluente (unità di lunghezza) per il carico di pressione uniforme (forza per unità di area) per ottenere la grandezza del carico distribuito (forza per unità di lunghezza del travetto). Questo può essere espresso matematicamente come:
w = q tw
dove:
- w = grandezza del carico distribuito (forza per unità di lunghezza)
- q = grandezza del carico uniforme (forza per unità di superficie)
- tw = la larghezza dell’affluente (lunghezza).
Si noti che tw = s se la spaziatura del travetto è uniforme.
Un altro modo per considerare questo è considerare w come una lunghezza unitaria rappresentativa del travetto. L’area che supporta è uguale alla larghezza dell’affluente per la lunghezza unitaria. Il carico w che tale lunghezza unitaria supporta è uguale all’area dell’affluente (1 * tw) volte il carico di pressione uniforme q. Quindi il carico per quella lunghezza unitaria è w = 1*tw * q = q tw.
Lo schema di caricamento del fascio idealizzato è mostrato in Figura TA.2.3.
Figura TA.2.3
Diagramma di caricamento del fascio idealizzato
Notando che ogni travetto trasferisce metà del suo carico a ciascun elemento di supporto (cioè le reazioni ciascuna uguale wL/2), possiamo ora disegnare il diagramma di carico per una delle travi di supporto.
Mentre la trave raccoglie le reazioni del travetto, possiamo disegnare il diagramma del carico della trave come avente una serie di carichi puntuali. Figura TA.2.4 mostra un caso del genere per una trave tipica che supporta reazioni di travetto equidistanti di uguale grandezza.
Figura TA.2,4
Diagramma di carico della trave
Per fare l’analisi abbiamo bisogno di aver progettato i travetti in modo da sapere dove si trova ogni travetto.
Per affiancare la pista per un momento, considerare la possibilità di approssimare la serie di carichi puntuali con un carico distribuito equivalente. Il carico distribuito equivalente potrebbe essere calcolato da
- sommando tutti i carichi di punti e dividendo per la lunghezza della trave, o
- dividendo un carico di punti, P, per la spaziatura del carico di punti, S.
Otterrai la stessa risposta in entrambi i casi se le reazioni sono uguali e le distanze sono uguali.
Poiché stiamo progettando travi per taglio, momento e deflessione, approssimando la serie di carichi puntuali come un carico uniforme funzionerà solo se i valori per taglio, momento e deflessione sono quasi uguali o maggiori dei valori ottenuti da un’analisi di una serie di carichi puntuali. Diamo un’occhiata.
Si consideri un fascio di lunghezza L, che supporta una serie di carichi puntuali di grandezza P.
Le tre figure successive confrontano i risultati per taglio e momento dall’analisi che considerano i carichi come carichi puntuali e un carico uniforme equivalente.
Figura TA.2.5 a
Confronto della forza interna quando S = L/2
Figura TA.2.5 b
Confronto della forza interna quando S = L/3
Figura TA.2.5 c
Confronto della forza interna quando S = L/4
Si noti che, all’aumentare del numero di carichi, la differenza tra i risultati per la serie di carichi puntuali inizia ad avvicinarsi ai risultati di carico uniformi.
Generalmente, il metodo approssimativo viene utilizzato ogni volta che la spaziatura del travetto è inferiore o uguale a L/4 poiché i risultati sono piuttosto vicini e il carico uniformemente distribuito è più facile da analizzare rispetto a una serie di carichi puntuali.
Quindi, con quanto sopra in mente, diamo un’occhiata a una delle travi in Figura TA.2.1. Inizieremo con la trave sulla linea della griglia 1 tra le griglie A e B. Invece di calcolare le reazioni del travetto, possiamo vedere che ogni travetto deposita metà del suo carico su ciascuna delle travi di supporto. Pertanto, poiché la pressione del pavimento è uniforme, possiamo dire che la trave supporta la somma della metà delle aree di ciascuno dei travetti. Graficamente, possiamo tracciare una linea lungo il centro di ogni travetto supportato e dire che tutta l’area tra la linea e la trave è tributaria alla trave. Si può vedere questo in Figura TA.2.6. La distanza dell’area dell’affluente nella direzione dei travetti è la larghezza dell’affluente.
Figura TA.2.6
Area Tributaria della Trave 1, AB
Il diagramma di carico per il fascio sarebbe quello di un fascio semplicemente supportato, caricato uniformemente con un’intensità di carico:
w = q tw
Dove tw, in questo caso è sette (7) piedi. Si noti che l’altra trave sulla griglia 1 ha la stessa intensità di carico. Si dovrebbe essere in grado di dire modo che è così a questo punto.
Possiamo ripetere questo esercizio per tutta la trave nel piano di inquadratura. Si noti che tutta la superficie del pavimento deve essere contabilizzata! Vedi Figura TA.2.7 per le assegnazioni zona affluente per tutte le travi.
Figura TA.2.7
Aree tributarie trave
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Fare clic sulla figura per ottenere un’animazione powerpoint che illustra dinamicamente le aree affluenti trave.
Quindi guardiamo le colonne.
Ogni colonna supporta una o due travi semplicemente supportate e caricate in modo uniforme. Ogni trave aggiunge metà del carico supportato a ciascuna colonna di supporto. Quindi, ogni colonna supporta metà dell’area supportata da ciascuna trave contributiva.
Ad esempio, Figura TA.2.8 mostra l’area affluente alla colonna all’intersezione delle griglie 1 & B. Questa area rappresenta metà dell’area supportata dalla trave 1, AB e metà dell’area supportata dalla trave 1, BC.
Figura TA.2.8
Colonna 1B Zona tributaria
Poiché tutto il carico sul sistema a pavimento è supportato dalle nove colonne, possiamo disegnare un diagramma che illustra le aree che sono affluenti a ciascuna colonna. Ancora… tutta l’area deve essere contabilizzata e nessuna parte dell’area deve essere contata due volte. Figura TA.2.9 mostra il diagramma per area affluente alle colonne. È possibile fare clic sulla figura per vedere un’animazione powerpoint delle aree.
Figura TA.2.9
Aree affluenti colonna
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Il carico su ogni colonna può essere determinato moltiplicando l’area dell’Affluente per ogni colonna per l’intensità di carico uniforme, q.
Si spera che si stia iniziando a vedere l’utilità di questo metodo. È possibile determinare il carico su qualsiasi membro di questo piano di inquadratura del pavimento in qualsiasi ordine! Anche l’analisi delle travi è in qualche modo semplificata.
Ora, diamo un’occhiata ad alcuni layout di inquadratura più impegnativi.
Inquadratura non perpendicolare al membro supportato
Una situazione piuttosto comune è quella illustrata nella Figura TA.2.10. In questo layout, alcune delle inquadrature sono perpendicolari ai suoi supporti e altre no.
Figura TA.2.10
Piano di inquadratura del pavimento
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Ogni travetto ha la stessa intensità di carico uniforme, w = q s, ma ha una lunghezza diversa. Il progettista dovrà decidere se progettare per il caso peggiore e utilizzare lo stesso per tutti i travetti o diminuire le dimensioni man mano che i travetti si accorciano.
Per trovare il carico sulle due travi, possiamo facilmente identificare le loro aree affluenti come metà di quelle sostenute da ciascun travetto, quindi possiamo tracciare una linea lungo il centro dei travetti per dividere le due aree affluenti come mostrato nella figura TA.2.11.
Figura TA.2.11
Zone tributarie delle Travi
In questo caso, se sei attento, noterai che ogni trave supporta metà di tutti i travetti che supportano tutto il pavimento, quindi ne consegue che ogni trave supporta metà del carico totale del pavimento. La domanda ora è: Come viene applicato ad ogni trave?
Iniziamo con trave AB.
In questo caso i travetti sono perpendicolari alla trave. Ogni reazione del travetto può essere distribuita su una lunghezza della trave uguale alla spaziatura del travetto, s. Ciò significa che l’intensità del carico lineare è maggiore all’estremità” A ” della trave. L’intensità di carico 2D, w, all’estremità A della trave è uguale a:
wA = q tw = q (L1/2)
L’intensità di carico all’estremità “B” della trave è uguale a zero poiché tw è zero a questo punto. Il diagramma di carico del fascio risultante (non compreso il peso del fascio) è mostrato in Figura TA.2.12. Se il peso di auto del fascio deve essere incluso poi un carico uniforme uguale al peso del fascio per unità di lunghezza dovrebbe essere aggiunto al carico.
Figura TA.2.12
Trave AB Diagramma di carico
Un altro modo per arrivare al valore per wA è riconoscere che la distribuzione è linearmente variabile da zero quindi risolvere la seguente equazione triangolare per wA:
q (Trib. Area) = 0,5 L2 wA
Il carico totale dal diagramma è uguale all’area tributaria volte l’intensità del carico.
Un’altra cosa da notare è che il diagramma di carico segue la forma del diagramma dell’area tributaria in questo caso. Questo è sempre vero quando l’inquadratura supportata è perpendicolare al membro. Questo non è esattamente vero per altre situazioni, come vedremo ora.
Considerare trave BC. In questo caso l’inquadratura supportata non è perpendicolare alla trave.
Un errore comune è quello di supporre che il carico di picco nel diagramma di carico si verifica quando una linea perpendicolare alla trave passa attraverso il centro del travetto più lungo. Questo non è giusto! Si noti che il travetto più lungo (e il più pesantemente caricato) trasferisce tutto il suo carico all’estremità “C” della trave, rendendo la più grande intensità di carico. Poiché la lunghezza del travetto varia linearmente, il diagramma di carico del fascio risultante è della stessa forma del diagramma di carico del fascio per la trave AB.
Come si vede nella figura TA.2,13, un travetto che sta entrando nella trave ad un angleq dalla perpendicolare sparge il suo carico sopra una lunghezza s / cos q della trave. L’intensità di carico per unità di lunghezza della trave diventa quindi:
wj = / = 0.5 q Lj cos q
dove:
- (s (Lj/2)) = l’area tributaria del travetto che è sostenuta dalla trave
- s / cos q = la lunghezza della trave su cui è distribuita la reazione del travetto.
Figura TA.2.13
Carica da un Travetto
Da questa derivazione, si può concludere che il carico di intensità a “C” fine della trave è uguale a
wC = 0.5 q L1 cos q
in alternativa, è possibile trovare wC, riconoscendo che il carico sulla trave ha una distribuzione triangolare e quindi impostare l’espressione che equivale affluente di carico per la forma del diagramma di carico:
q (Trib. Area) = 0,5 sqrt (L12 + L22) wC
Ciò si traduce nel diagramma di carico indicato nella figura TA.2.14.
Figura TA.2.14
Schema di carico per trave BC
Ora consideriamo le tre colonne.
Ogni colonna supporta una o due estremità delle travi. Sfortunatamente le travi non sono caricate in modo uniforme, quindi non possiamo dire che le travi trasferiscano metà del loro carico su ogni colonna. Quando aggiungiamo il peso uniforme delle travi otteniamo diagrammi di carico della forma generale mostrata in Figura TA.2.15.
Figura TA.2.15
Schema generale di carico per travi AB & BC
Poiché ora abbiamo un membro con un carico non uniforme, dobbiamo effettivamente calcolare le reazioni per le travi quindi applicarle alle colonne. Il metodo dell’area tributaria non è molto utile per queste colonne in questo caso.
Si noti, tuttavia, che se il peso auto del fascio viene ignorato e W2 = 0, allora si può dire che la reazione a “A” è 2/3 del carico totale e la reazione a “B” è 1/3 del carico totale sulla trave. Con una pressione uniforme, si può dire che la colonna all’estremità “A “supporti 2/3 dell’area affluente del fascio e l’estremità” B ” supporti 1/3 dell’area affluente del fascio. Nel caso del sistema a pavimento in Figura TA.2.10, ciò significa che ogni colonna supporta 1/3 della superficie totale.
Per visualizzare un’animazione powerpoint che evidenzia diverse aree tributarie per questo problema, fare clic qui.
Problemi di prova
È possibile scaricare un file PDF delle varie configurazioni di pavimento mostrate in Figura TA.2.16. Provate a identificare le aree affluenti e disegnare i diagrammi di carico per le varie travi. Dove è conveniente utilizzare il metodo dell’area tributaria, identificare le aree affluenti alle colonne e alle pareti che sostengono i travetti e le travi.
Se hai difficoltà, porta i problemi al tuo istruttore per un’assistenza personalizzata.
Figura TA.2.16
Piani di inquadratura di esempio
