Section TA.2
Zones tributaires pour charges gravitaires
Dernière révision: 04/11/2014
Si la poutre supporte un plancher, un toit ou un mur dont la charge de pression est normale à la surface, la force totale sur la poutre est égale à la surface supportée (c’est-à-dire la zone tributaire) fois la pression sur la surface.
Considérons une série de solives de plancher (éléments de poutre répétitifs) supportant un système de plancher comme le montre le plan de charpente de la figure TA.2.1.
Figure TA.2.1
Système d’encadrement de plancher Témoin
En regardant de plus près une solive unique, comme le montre la figure TA.2.2, vous pouvez voir que le système de plancher s’étend comme une poutre continue sur des supports régulièrement espacés. Notez que le sol s’étend de solive en solive au lieu de dans le même sens que la solive puisque le sol est sensiblement plus rigide (essayez les calcs de déviation si vous le souhaitez!) dans la direction courte. Dans cette situation, le système de plancher transférera la moitié de la charge uniformément répartie d’une travée à la solive à chaque extrémité de la travée de plancher. Ainsi, on peut dire que la solive supporte toute la charge sur la zone montrée (la zone hachurée). Chaque solive du système soutiendra également le système de plancher, de sorte que toute la surface de plancher est prise en compte.
Figure TA.2.2
Secteur tributaire des solives de plancher
La zone hachurée est appelée la zone tributaire de la solive. Sa dimension transversale à la solive est la moitié de la distance à la solive suivante de chaque côté (également connue sous le nom de largeur de l’affluent) et sa longueur est la longueur de la solive. La charge totale (en unités de force) sur la solive est égale à la surface tributaire (unités de surface) fois la charge de pression uniforme (force par unité de surface).
Le diagramme de chargement bidimensionnel est construit en multipliant la largeur de l’affluent (unités de longueur) par la charge de pression uniforme (force par unité de surface) pour obtenir l’amplitude de la charge répartie (force par unité de longueur de solive). Cela peut être exprimé mathématiquement comme suit:
w = q tw
où:
- w = magnitude de la charge répartie (force par unité de longueur)
- q = magnitude de la charge uniforme (force par unité de surface)
- tw = largeur de l’affluent (longueur).
Notez que tw =s si l’espacement des solives est uniforme.
Une autre façon de considérer cela est de considérer w comme une unité de longueur représentative de la solive. La surface qu’il supporte est égale à la largeur de l’affluent multipliée par l’unité de longueur. La charge w supportée par cette unité de longueur est égale à la surface de l’affluent (1* tw) fois la charge de pression uniforme q. Par conséquent, la charge par unité de longueur est w = 1 * tw * q = q tw.
Le diagramme de chargement du faisceau idéalisé est représenté sur la figure TA.2.3.
Figure TA.2.3
Diagramme de Chargement du faisceau Idéalisé
En remarquant que chaque solive transfère la moitié de sa charge à chaque élément de support (c’est-à-dire les réactions égales chacune à wL/2), on peut maintenant dessiner le diagramme de charge pour l’une des poutres de support.
Comme la poutre recueille les réactions de solive, nous pouvons dessiner le diagramme de charge de la poutre comme ayant une série de charges ponctuelles. Figure TA.2.4 montre un tel cas pour une poutre typique supportant des réactions de solives régulièrement espacées d’ampleur égale.
Figure TA.2.4 Diagramme de chargement des poutres
Afin de faire l’analyse, nous devons avoir conçu les solives de sorte que nous sachions où se trouve chaque solive.
Sur la voie latérale pendant un moment, considérez la possibilité que nous puissions approximer la série de charges ponctuelles par une charge distribuée équivalente. La charge distribuée équivalente peut être calculée en
- additionnant toutes les charges ponctuelles et en divisant par la longueur de la poutre, ou
- en divisant une charge ponctuelle, P, par l’espacement des charges ponctuelles, S.
Vous obtiendrez la même réponse de toute façon si les réactions sont égales et les espacements sont égaux.
Étant donné que nous concevons des poutres pour le cisaillement, le moment et la déflexion, l’approximation de la série de charges ponctuelles en tant que charge uniforme ne fonctionnera que si les valeurs pour le cisaillement, le moment et la déflexion sont presque identiques ou supérieures aux valeurs obtenues à partir d’une analyse d’une série de charges ponctuelles. Voyons ça.
Considérons une poutre de longueur L, qui supporte une série de charges ponctuelles de magnitude P.
Les trois figures suivantes comparent les résultats pour le cisaillement et le moment de l’analyse qui considèrent les charges comme des charges ponctuelles et une charge uniforme équivalente.
Figure TA.2.5a
Comparaison des Forces internes lorsque S = L/2
Figure TA.2.5b
Comparaison des Forces internes lorsque S = L/3
Figure TA.2.5c
Comparaison de la Force interne lorsque S = L/4
Notez que, à mesure que le nombre de charges augmente, la différence entre les résultats de la série de charges ponctuelles commence à se rapprocher des résultats de charge uniformes.
Généralement, la méthode approximative est utilisée lorsque l’espacement des solives est inférieur ou égal à L / 4 car les résultats sont assez proches et la charge uniformément répartie est plus facile à analyser qu’une série de charges ponctuelles.
Donc, avec ce qui précède à l’esprit, jetons un coup d’œil à l’une des poutres de la figure TA.2.1. Nous allons commencer par la poutre sur la ligne de grille 1 entre les grilles A et B. Au lieu de calculer les réactions de solive, nous pouvons voir que chaque solive dépose la moitié de sa charge sur chacune des poutres de support. Par conséquent, comme la pression au sol est uniforme, on peut dire que la poutre supporte la somme de la moitié des surfaces de chacune des solives. Graphiquement, nous pouvons tracer une ligne au centre de chaque solive supportée et dire que toute la zone entre la ligne et la poutre est tributaire de la poutre. Vous pouvez le voir sur la figure TA.2.6. La distance de la zone tributaire dans la direction des solives est la largeur de l’affluent.
Figure TA.2.6
Zone tributaire de la poutre 1, AB
Le diagramme de charge de la poutre serait celui d’une poutre simplement supportée et chargée uniformément ayant une intensité de charge:
w = q tw
Où tw, dans ce cas, est de sept (7) pieds. Notez que l’autre poutre de la grille 1 a la même intensité de charge. Vous devriez pouvoir dire de la sorte à ce stade.
Nous pouvons répéter cet exercice pour toute la poutre dans le plan de charpente. Notez que toute la surface de plancher doit être comptabilisée! Voir Figure TA.2.7 aux affectations de la zone tributaire pour toutes les poutres.
Figure TA.2.7
Zones tributaires de poutres
Cliquez sur l’image pour l’animation Powerpoint
Cliquez sur la figure pour obtenir une animation powerpoint qui illustre dynamiquement les zones tributaires des poutres.
Ensuite, nous regardons les colonnes.
Chaque colonne supporte une ou deux poutres, simplement supportées, uniformément chargées. Chaque poutre ajoute la moitié de sa charge supportée à chaque colonne de support. Ainsi, chaque colonne supporte la moitié de la surface supportée par chaque poutre contributive.
Par exemple, Figure TA.2.8 montre l’aire tributaire de la colonne à l’intersection des grilles 1 &B. Cette aire représente la moitié de l’aire supportée par la poutre 1, AB et la moitié de l’aire supportée par la poutre 1, BC.
Figure TA.2.8
Colonne 1B Superficie des affluents
Comme toute la charge sur le système de plancher est supportée par les neuf colonnes, nous pouvons dessiner un diagramme illustrant les zones tributaires de chaque colonne. Encore une fois… toute la zone doit être comptabilisée et aucune partie de la zone ne doit être comptée deux fois. Figure TA.2.9 montre le diagramme pour la zone tributaire des colonnes. Vous pouvez cliquer sur la figure pour voir une animation powerpoint des zones.
Figure TA.2.9
Zones tributaires de la colonne
Cliquez sur l’image pour l’animation Powerpoint
La charge sur chaque colonne peut être déterminée en multipliant la zone tributaire pour chaque colonne par l’intensité de charge uniforme, q.
Espérons que vous commencez à voir l’utilité de cette méthode. Vous pouvez déterminer la charge sur n’importe quel membre de ce plan de charpente d’étage dans n’importe quel ordre! De plus, l’analyse des poutres est quelque peu simplifiée.
Maintenant, regardons quelques mises en page de cadrage plus difficiles.
Encadrement qui n’est pas perpendiculaire à l’élément supporté
Une situation assez courante est celle illustrée sur la figure TA.2.10. Dans cette disposition, une partie de l’encadrement est perpendiculaire à ses supports et d’autres non.
Figure TA.2.10
Plan d’encadrement
Cliquez sur l’image pour l’animation Powerpoint
Chaque solive a la même intensité de charge uniforme, w = q s, mais a une longueur différente. Le concepteur devra décider de concevoir dans le pire des cas et d’utiliser la même chose pour toutes les solives ou de diminuer la taille à mesure que les solives deviennent plus courtes.
Pour trouver la charge sur les deux poutres, nous pouvons facilement identifier leurs zones tributaires comme étant la moitié de celles supportées par chaque solive, nous pouvons donc tracer une ligne au centre des solives pour diviser les deux zones tributaires comme le montre la figure TA.2.11.
Figure TA.2.11
Zones tributaires des Poutres
Dans ce cas, si vous êtes attentif, vous remarquerez que chaque poutre supporte la moitié de toutes les solives qui supportent tout le plancher, il s’ensuit donc que chaque poutre supporte la moitié de la charge totale du plancher. La question est maintenant: Comment s’applique-t-on à chaque poutre?
Commençons par la poutre AB.
Dans ce cas, les solives sont perpendiculaires à la poutre. Chaque réaction de solive peut être répartie sur une longueur de poutre égale à l’espacement des solives, s. Cela signifie que l’intensité de charge linéaire est plus grande à l’extrémité « A » de la poutre. L’intensité de charge 2D, w, à l’extrémité A de la poutre est égale à:
wA = q tw = q(L1 / 2)
L’intensité de charge à l’extrémité « B » de la poutre est nulle puisque tw est nulle à ce point. Le diagramme de charge du faisceau résultant (poids du faisceau non compris) est illustré à la figure TA.2.12. Si le poids de la poutre doit être inclus, une charge uniforme égale au poids de la poutre par unité de longueur doit être ajoutée à la charge.
Figure TA.2.12
Diagramme de charge de la poutre AB
Une autre façon d’arriver à la valeur de wA consiste à reconnaître que la distribution varie linéairement de zéro puis à résoudre l’équation triangulaire suivante pour wA:
q(Trib. Surface) = 0,5 L2 wA
La charge totale du diagramme est égale à la surface de l’affluent multipliée par l’intensité de la charge.
Une autre chose à noter est que le diagramme de charge suit la forme du diagramme de la zone tributaire dans ce cas. Ceci est toujours vrai lorsque le cadre supporté est perpendiculaire à l’élément. Ce n’est pas précisément vrai pour d’autres situations, comme nous le verrons maintenant.
Considérons la poutre BC. Dans ce cas, la charpente supportée n’est pas perpendiculaire à la poutre.
Une erreur courante ici est de supposer que la charge maximale dans le diagramme de chargement se produit lorsqu’une ligne perpendiculaire à la poutre passe par le centre de la solive la plus longue. Ce n’est pas correct! Notez que la solive la plus longue (et la plus chargée) transfère toute sa charge à l’extrémité « C » de la poutre, ce qui en fait la plus grande intensité de charge. Étant donné que la longueur des solives varie linéairement, le diagramme de chargement de la poutre résultant a la même forme que le diagramme de chargement de la poutre pour la poutre AB.
Comme on le voit sur la figure TA.2.13, une poutrelle qui vient dans la poutre à un angle de perpendiculaire étend sa charge sur une longueur s / cos q de la poutre. L’intensité de charge par unité de longueur de poutre devient alors :
wj =/= 0,5 q Lj cos q
où:
- ( s(Lj/2)) = la zone tributaire de la solive qui est supportée par la poutre
- s/cos q = la longueur de la poutre sur laquelle la réaction de solive est répartie.
Figure TA.2.13
Charge à partir d’une solive
À partir de cette dérivation, nous pouvons conclure que l’intensité de charge à l’extrémité « C » de la poutre est égale à
wC = 0,5 q L1 cos q
Alternativement, vous pouvez trouver wC en reconnaissant que la charge sur la poutre a une distribution triangulaire, puis configurer l’expression qui assimile la charge tributaire à la forme du diagramme de charge:
q (Trib. Surface) = 0,5 sqrt (L12 + L22) wC
Cela donne le diagramme de charge donné sur la figure TA.2.14.
Figure TA.2.14
Diagramme de charge pour Poutre BC
Considérons maintenant les trois colonnes.
Chaque colonne supporte une ou deux extrémités des poutres. Malheureusement, les poutres ne sont pas uniformément chargées, nous ne pouvons donc pas dire que les poutres transfèrent la moitié de leur charge à chaque colonne. Lorsque nous y ajoutons le poids uniforme des poutres, nous obtenons des diagrammes de charge de la forme générale représentée sur la figure TA.2.15.
Figure TA.2.15
Schéma général de chargement des poutres AB & BC
Puisque nous avons maintenant un membre avec une charge non uniforme, nous devons réellement calculer les réactions pour les poutres puis les appliquer aux colonnes. La méthode de la zone tributaire n’est pas très utile pour ces colonnes dans ce cas.
Notez cependant que si le poids de la poutre est ignoré et W2 = 0, alors vous pouvez dire que la réaction à « A » est de 2/3 de la charge totale et la réaction à « B » est de 1/3 de la charge totale sur la poutre. Avec une pression uniforme, on peut dire que la colonne à l’extrémité « A » supporte les 2/3 de la zone tributaire de la poutre et que l’extrémité « B » supporte les 1/3 de la zone tributaire de la poutre. Dans le cas du système de plancher de la figure TA.2.10, cela signifie que chaque colonne supporte 1/3 de la surface de plancher totale.
Pour voir une animation powerpoint qui met en évidence différentes zones tributaires pour ce problème, cliquez ici.
Problèmes d’essai
Vous pouvez télécharger un fichier PDF des différentes configurations de plancher illustrées sur la figure TA.2.16. Essayez d’identifier les zones tributaires et de dessiner les diagrammes de chargement des différentes poutres. Lorsqu’il convient d’utiliser la méthode de la zone tributaire, identifiez les zones tributaires des colonnes et des murs qui supportent les solives et les poutres.
Si vous avez des difficultés, apportez les problèmes à votre instructeur pour une assistance personnalisée.
Figure TA.2.16
Exemples de Plans d’encadrement
