Équation d’oscillation
Le mouvement d’une machine synchrone est régi par la loi de rotation de Newton, qui stipule que le produit du moment d’inertie multiplié par l’accélération angulaire est égal au couple d’accélération net. Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit:
$\ commencer {matrix} J\alpha = {{T}_{a}} = {{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \ left(1\right)\\\end{matrix}
L’équation 1 peut également s’écrire en termes de position angulaire comme suit:
begin\begin {matrix} J\frac {{{d}^{2}} {{\theta}_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{ T}_{a}} = {{T}_{m}} – {{T} _{e}} & {} & \ left(2\right)\\\end {matrix}$
où
J = moment d’inertie du rotor
Ta = couple d’accélération net ou somme algébrique de tous les couples agissant sur la machine
Tm = couple d’arbre corrigé des pertes en rotation, y compris les pertes de frottement et de dérive et de noyau
Te = couple électromagnétique
Par convention, les valeurs de Tm et Te sont considérées comme positives pour l’action génératrice et négatives pour l’action motrice.
Pour les études de stabilité, il est nécessaire de trouver une expression de la position angulaire du rotor de la machine en fonction du temps t. Cependant, l’angle de déplacement et la vitesse relative étant plus intéressants, il est plus commode de mesurer la position angulaire et la vitesse angulaire par rapport à un repère en rotation synchrone avec une vitesse synchrone de{{{\omega}_{sm}}$. Ainsi, la position du rotor peut être décrite par ce qui suit:
begin\begin{matrix}{{\theta}_{m}} ={{\omega}_{sm}} +{{\delta}_{m}} & {} & \ left(3\right) \\\end{matrix}
Les dérivées de θm peuvent être exprimées comme
\\begin{align} &\begin{matrix}\frac{d{{\theta}_{m}}}{dt} ={{\omega}_{sm}} +\frac{d{{\delta}_{m}}}{dt} & {} & \ gauche (4\droite) \\\ fin {matrix}\\& \ début {matrix}\frac {{{d}^{2}} {{\theta}_{m}}} {d{{t}^{2}}} = \frac{{{d}^{2}} {{\delta}_{m}}} {d{{t}^{2}}} & {} & \ gauche (5\ droite) \\\ fin {matrix} \\\ fin {align}
Remplacement de l’égaliseur. 5 dans l’égaliseur. 2 rendements
JJ\begin{matrix}\frac {{{d}^{2}} {{\delta}_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{ T}_{a}} = {{T}_{m}} – {{T} _{e}} & {} & \ gauche (6\ droite) \\\ fin {matrice}$
Multipliant l’égalisation. 6 par la vitesse angulaire du rotor transforme l’équation de couple en une équation de puissance. Ainsi,
JJ{{\omega}_{m}}\begin{matrix}\frac {{{d}^{2}} {{\delta}_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{\ omega} _{m}} {{T}_{a}} = {{\omega}_{m}} {{T}_{m}} – {{\omega}_{m}} {{T}_{e}} & {} & \ left(7\right)\\\end{matrix}
En remplaçantT{{\omega}_{m}} TTpar P etJJ{{\omega}_{m}}} par M, on obtient l’équation dite de swing. L’équation d’oscillation décrit comment le rotor de la machine se déplace, ou bascule, par rapport au référentiel en rotation synchrone en présence d’une perturbation, c’est-à-dire lorsque la puissance nette d’accélération n’est pas nulle.
$M\begin{matrix}\frac {{{d}^{2}} {{\delta}_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}} = {{P} _{m}} – {{P} _{e}} & {} & \ gauche (8\droite) \\\ fin {matrice}$
où
M = Jw = constante d’inertie
Pa = Pm–Pe = puissance nette d’accélération
Pm = wTm = entrée de puissance de l’arbre corrigée pour les pertes en rotation
Pe = wTe = sortie de puissance électrique corrigée pour les pertes électriques
On peut noter que la constante d’inertie a été prise égale au produit du moment d’inertie J et de la vitesse angulaire wm, qui varie en fait pendant un perturbation. Cependant, à condition que la machine ne perde pas son synchronisme, la variation de wm est assez faible. Ainsi, M est généralement traité comme une constante.
Une autre constante, souvent utilisée car sa plage de valeurs pour des types particuliers de machines tournantes est assez étroite, est la constante d’inertie dite normalisée H. Elle est liée à M comme suit:
\\begin{matrix}H = \frac{1}{2}\frac{M{{\omega}_{sm}}} {{{S}_{rated}}}{}^{MJ} /{}_{MVA} & {} & \ left(9\right) \\\end {matrix}Solving
Résolution de M à partir d’Eq. 9 et la substitution en 8 donne l’équation de swing exprimée en par unité. Ainsi,
\
On peut noter que l’angle δm et la vitesse angulaire wm en Eq. 10 sont exprimés respectivement en radians mécaniques et en radians mécaniques par seconde. Pour un générateur synchrone à p pôles, l’angle de puissance électrique et la fréquence radian sont liés aux variables mécaniques correspondantes comme suit:
$\begin{matrix}\begin{align} & \delta\left(t\right) =\frac{p}{2}{{\delta}_{m}}\left(t\right)\\&\omega\left(t\right) =\frac{p}{2}{{\omega}_{m}}\left(t\right)\\\end{align} & {} & \ left(11\right)\\\end{matrix}
De même, la fréquence radiane électrique synchrone est liée à la vitesse angulaire synchrone comme suit :
begin\begin{matrix}{{\omega}_{s}} =\frac{p}{2}{{\omega}_{sm}} & {} & \ left (12\right) \\\end {matrix}
Par conséquent, l’équation de swing par unité d’Eq. 10 peut être exprimé en unités électriques et prend la forme d’Eq. 13.
$\frac{2H}{{{\omega}_{s}}}\begin{matrix}\frac{{{d}^{2}}\delta}{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}} = {{P} _{m}} – {{P} _{e}} & {} & \ gauche (13\ droite) \\\ fin {matrice}$
En fonction de l’unité de l’angle δ, Eq. 13 prend la forme de l’un ou l’autre Eq. 14 ou Eq. 15. Ainsi, l’équation d’oscillation par unité prend la forme:
$\frac{H}{\pi f}\begin{matrix}\frac{{{d}^{2}}\delta}{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}} = {{P} _{m}} – {{P} _{e}} & {} & \ gauche (14\ droite) \\\ fin {matrix}
Lorsque δ est en degrés électriques, ou
\\frac{H}{180f}\begin{matrix}\frac{{{d}^{2}}\delta}{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}} = {{P} _{m}} – {{P} _{e}} & {} & \ left(15\right)\\\end{matrix}$
Lorsque δ est en degrés électriques.
Lorsqu’une perturbation se produit, un déséquilibre entre la puissance d’entrée et la puissance de sortie s’ensuit, produisant un couple d’accélération net. La solution de l’équation d’oscillation sous la forme de l’équation différentielle de (14) ou (15) est convenablement appelée courbe d’oscillation δ(t).