Schwenkgleichung
Die Bewegung einer Synchronmaschine wird durch das Newtonsche Rotationsgesetz geregelt, das besagt, dass das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung gleich dem Nettobeschleunigungsdrehmoment ist. Mathematisch kann dies wie folgt ausgedrückt werden:
$\ beginnen Sie mit {matrix} J \ alpha = {{T} _ {a}} = {{T} _{m}} -{{T} _{e}} & {} & \ left( 1 \right) \\\end{matrix}$
Gleichung 1 kann auch in Bezug auf die Winkellage wie folgt geschrieben werden:
$\beginnen {matrix} J\ frac {{{d} ^ {2}} {{\ theta } _{m}}} {d {{t}^{2}}}={{ T}_{a}}={{T}_{m}}-{{T}_{e}} & {} & \ left( 2 \right) \\\end{matrix}$
where
J = Trägheitsmoment des Rotors
Ta = Nettobeschleunigungsdrehmoment oder algebraische Summe aller auf die Maschine wirkenden Drehmomente
Tm = Wellendrehmoment korrigiert um die Rotationsverluste einschließlich Reibungs- und Windungs- und Kernverluste
Te = elektromagnetisches Drehmoment
Konventionell werden die Werte von Tm und Te als positiv für die Generatorwirkung und negativ für die Motorwirkung angenommen.
Für Stabilitätsstudien ist es notwendig, einen Ausdruck für die Winkellage des Maschinenrotors als Funktion der Zeit t zu finden. Da jedoch der Verschiebungswinkel und die Relativgeschwindigkeit von größerem Interesse sind, ist es bequemer, die Winkellage und die Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf einen synchron rotierenden Referenzrahmen mit einer Synchrondrehzahl von $ {{\ omega } _{sm}} $ zu messen. Somit kann die Rotorposition wie folgt beschrieben werden:
$\beginnen {matrix} {{\ theta } _{m}} = {{\omega } _{sm}} + {{\delta }_{m}} & {} & \ left( 3 \right) \\\end{matrix}$
Die Ableitungen von θm können ausgedrückt werden als
$\begin{align} & \begin{matrix} \frac{d{{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{sm}}+\frac{d{{\delta }_{m}}}{dt} & {} & \ links( 4 \rechts) \\\ende{matrix} \\ & \beginnen{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}=\frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}} & {} & \ left( 5 \right) \\\end{matrix} \\\end{align}$
Ersetzen von Gl. 5 in Gl. 2 ergibt
$J\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{ T}_{a}}={{T}_{m}}-{{T}_{e}} & {} & \ left( 6 \right) \\\end{matrix}$
Multipliziert mit Gl. 6 durch die Winkelgeschwindigkeit des Rotors die Drehmomentgleichung in eine Leistungsgleichung umwandelt. Also
$J{{\omega }_{m}}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{\ {m}}{{T}_{a}}={{\omega }_{m}}{{T}_{m}}-{{\omega }_{m}}{{T}_{e}} & {} & \ left( 7 \right) \\\end{matrix}$
Ersetzen von ${{\omega } _{m}} T $durch P und $ J{{\omega }_{m}} $ durch M, die sogenannte Swing-Gleichung wird erhalten. Die Schwingungsgleichung beschreibt, wie sich der Maschinenrotor bei Vorliegen einer Störung, also wenn die Nettobeschleunigungsleistung ungleich Null ist, gegenüber dem synchron rotierenden Bezugsrahmen bewegt bzw. schwingt.
$M\ beginnen {matrix} \ frac {{{d} ^{2}} {{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \ left( 8 \right) \\\end{matrix}$
where
M = Jw = Trägheitskonstante
Pa = Pm– Pe = Nettobeschleunigungsleistung
Pm = wTm = Wellenleistungsaufnahme korrigiert für die Rotationsverluste
Pe = wTe = elektrische Ausgangsleistung korrigiert für die elektrischen Verluste
Es sei angemerkt, dass die Trägheitskonstante gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment J und der Winkelgeschwindigkeit wm genommen wurde, die sich tatsächlich während eines Störung. Vorausgesetzt, die Maschine verliert nicht an Synchronität, ist die Variation der wm jedoch recht gering. Daher wird M normalerweise als Konstante behandelt.
Eine weitere Konstante, die häufig verwendet wird, weil ihr Wertebereich für bestimmte Arten von rotierenden Maschinen ziemlich eng ist, ist die sogenannte normalisierte Trägheitskonstante H. Sie ist wie folgt mit M verwandt:
$\begin{matrix} H=\frac{1}{2}\frac{M{{\omega }_{sm}}}{{{S}_{m}}}{}^{MJ}/{}_{MVA} & {} & \ left( 9 \right) \\\end{matrix}$
Lösung für M aus Gl. 9 und Substitution in 8 ergibt die Swing-Gleichung, ausgedrückt in pro Einheit. So,
\
Es sei angemerkt, dass der Winkel δm und die Winkelgeschwindigkeit wm in Gl. 10 werden in mechanischem Bogenmaß bzw. mechanischem Bogenmaß pro Sekunde ausgedrückt. Bei einem Synchrongenerator mit p-Polen beziehen sich der elektrische Leistungswinkel und die Radianfrequenz wie folgt auf die entsprechenden mechanischen Größen:
$\begin{matrix} \begin{align} & \delta \links( t \rechts) =\frac{p}{2}{{\delta }_{m}}\links(t \rechts) \\ & \omega \links(t \rechts)=\frac{p}{2}{{\omega }_{m}}\links(t \rechts) \\\Ende{align} & {} & \ left( 11 \right) \\\end{matrix}$
In ähnlicher Weise bezieht sich die synchrone elektrische Radianfrequenz auf die synchrone Winkelgeschwindigkeit wie folgt:
$\begin{matrix} {{\omega }_{s}}=\frac{p}{2}{{\omega }_{sm}} & {} & \ left( 12 \right) \\\end{matrix}$
Daher ist die Swing-Gleichung pro Einheit von Gl. 10 kann in elektrischen Einheiten ausgedrückt werden und hat die Form von Gl. 13.
$\frac{2H}{{{\omega }_{s}}}\beginnen {matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \ left( 13 \right) \\\end{matrix}$
Abhängig von der Einheit des Winkels δ, Gl. 13 in Form von entweder Gl. 14 oder Gl. 15. Somit hat die Schwunggleichung pro Einheit die Form:
$\frac{H}{\pi f}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \ links( 14 \rechts) \\\Ende{matrix}$
Wenn δ in elektrischen Graden ist, oder
$\frac{H}{180f}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{ P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \ left( 15 \right) \\\end{matrix}$
Wenn δ in elektrischen Graden ist.
Wenn eine Störung auftritt, kommt es zu einer Unwucht in der Leistungsaufnahme und der Leistungsabgabe, wodurch ein Nettobeschleunigungsmoment erzeugt wird. Die Lösung der Schwenkgleichung in Form der Differentialgleichung von (14) oder (15) wird zweckmäßigerweise als Schwenkkurve δ(t) bezeichnet.