Svingligning
bevægelsen af en synkron maskine styres af Nytons rotationslov, der siger, at produktet af inertimomentet gange vinkelaccelerationen er lig med det netto accelererende drejningsmoment. Matematisk kan dette udtrykkes som følger:
$\begynd{matrice} J \ alpha ={{T}_{a}} = {{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \venstre (1 \højre) \\ \ end{matrice}$
ligning 1 kan også skrives i form af vinkelpositionen som følger:
$ \ begin {matrice} J\frac{{{d}^{2}} {{\theta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}} = {{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \venstre( 2 \højre) \\\ende{matrice}$
hvor
J = Rotorens inertimoment
Ta = netto accelerationsmoment eller algebraisk sum af alle drejningsmomenter, der virker på maskinen
Tm = akselmoment korrigeret for rotationstab inklusive friktion og vind og kernetab
Te = elektromagnetisk drejningsmoment
efter konvention tages værdierne af TM og te som positive for generatorhandling og negative for motorisk handling.
til stabilitetsundersøgelser er det nødvendigt at finde et udtryk for maskinrotorens vinkelposition som en funktion af tid t. da forskydningsvinklen og den relative hastighed imidlertid er af større interesse, er det mere praktisk at måle vinkelposition og vinkelhastighed i forhold til en synkront roterende referenceramme med en synkron hastighed på${{\omega }_{sm}}$. Rotorpositionen kan således beskrives ved følgende:
$ \ begin {{{\theta }_{m}} = {{\omega }_{sm}} + {{\delta }_{m}} & {} & \left (3 \ right) \ \ \ end{matrice}$
derivaterne af larm kan udtrykkes som
$\begin{align} & \begin{matrice} \frac{d{{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{sm}}+\frac{d {{\delta }_{m}}} {dt} & {} & \left (4 \ right) \ \ \ end{matrice} \ \ & \ begin{matrice} \ frac{{{d}^{2}} {{\theta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}=\frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}} {}^{2}}} & {} & \ venstre (5 \ højre) \\\ende{matrice} \ \ \ ende{align}$
udskiftning af EKV. 5 til Ek. 2 udbytter
$J \ begin{matrice} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}} = {{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \venstre (6 \ højre) \ \ \ ende{Matriks}$
multiplicere EKV. 6 ved Rotorens vinkelhastighed omdannes momentligningen til en effektligning. Således
$j {{\omega }_{m}} \ begynd{matrice} \frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{\omega }_{m}} {{T}_{a}}={{\omega} _{m}} {{T}_{m}}-{{\omega} _{m}} {{T}_{e}} & {} & \venstre (7 \ højre) \\ \ ende{matrice}$
udskiftning af ${{\omega }_{m}}T$med P og $J {{\omega }_{m}}$ med M opnås den såkaldte svingligning. Svingligningen beskriver, hvordan maskinrotoren bevæger sig eller svinger i forhold til den synkront roterende referenceramme i nærvær af en forstyrrelse, det vil sige når nettoaccelerationseffekten ikke er nul.
$M \ begin{matrice} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{P}_{a}} = {{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \venstre( 8 \højre) \\\ende{matrice}$
hvor
m = JV = inerti konstant
Pa = Pm– Pe = netto accelererende effekt
Pm = vægt = akselindgang korrigeret for rotationstab
Pe = vægt = elektrisk effekt korrigeret for de elektriske tab
det kan bemærkes, at inerti-konstanten blev taget lig med produktet af inertimomentet J og vinkelhastigheden masseødelæggelsesvåben, som faktisk varierer under en forstyrrelse. Forudsat at maskinen ikke mister synkronisering, er variationen i masseødelæggelsesvåben imidlertid ret lille. Således behandles M normalt som en konstant.
en anden konstant, som ofte bruges, fordi dens værdiområde for bestemte typer roterende maskiner er ret snævert, er den såkaldte normaliserede inertikonstant H. Det er relateret til M som følger:
$ \ begin {matrice} H=\frac{1}{2} \ frac{m {{\omega }_{sm}}} {{{S}_{rated}}} {}^{MJ} / {} _ {MVA} & {} & \venstre (9 \ højre) \ \ \ ende{Matriks}$
løsning for M fra EKV. 9 og substitution i 8 giver svingligningen udtrykt i PR. Således,
\
det kan bemærkes, at vinkel-og vinkelhastighed masseødelæggelsesvåben i EKV. 10 udtrykkes i henholdsvis mekaniske radianer og mekaniske radianer pr.sekund. For en synkron generator med p-poler er den elektriske effektvinkel og radianfrekvensen relateret til de tilsvarende mekaniske variabler som følger:
$\begin{matrice} \begin{align} & \delta \left( t\right)=\frac{p}{2} {{\delta }_{m}} \left( t \ right) \ \& \omega \left( t\right)=\frac{p}{2} {{\omega} _ {m}} \ left (t \ right) \ \ \ end{align} & {} & \left (11 \ right) \ \ \ end{matrice}$
tilsvarende er den synkrone elektriske radianfrekvens relateret til synkron vinkelhastighed som følger:
$ \ begin{matrice} {{\omega }_{s}}=\frac{p}{2} {{\omega }_{sm}} & {} & \venstre (12 \ højre) \ \ \ ende{matrice}$
derfor svinger per-enhed ligning af EKV. 10 kan udtrykkes i elektriske enheder og har form af EKV. 13.
$\frac{2h}{{{\omega }_{s}}}\begynd{matrice} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}} = {{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \venstre (13 \ right) \ \ \ end{matrice}$
afhængigt af enheden af vinklen. 13 tager form af enten Ek. 14 eller Ek. 15. Dermed, per-enhed sving ligning tager form:
$\frac{H} {\pi f} \ begin{matrice} \frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}} = {{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (14 \ right) \ \ \ end{matrice}$
når den er i elektriske grader, eller
$\frac{H}{180F} \ begin{matrice} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}} = {{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \venstre (15 \ højre) \ \ \ ende{matrice}$
når kur er i elektriske grader.
når der opstår en forstyrrelse, opstår der en ubalance i strømindgangen og effekten, hvilket giver et netto accelererende drejningsmoment. Løsningen af svingligningen i form af differentialligningen på (14) eller (15) kaldes passende svingkurven for (T).