Swingova rovnice
pohyb synchronního stroje se řídí Newtonovým zákonem rotace, který uvádí, že součin momentu setrvačnosti krát Úhlové zrychlení je roven točivému momentu čistého zrychlení. Matematicky to může být vyjádřeno následovně:
$\začátek{matrix} J \ alpha ={{T}_{a}}={{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \left (1 \ right) \\ \ end{matrix}$
rovnici 1 lze také zapsat z hlediska úhlové polohy takto:
$ \ begin{matrix} J \ frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}} {d{{t}^{2}}}={{T}_{a}}={{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \vlevo (2 \vpravo) \\\konec{matrix}$
kde
J = moment setrvačnosti rotoru
Ta = čistý urychlovací moment nebo algebraický součet všech momentů působících na stroj
Tm = točivý moment hřídele korigovaný pro rotační ztráty včetně tření a větru a ztrát jádra
Te = elektromagnetický točivý moment
podle konvence se hodnoty Tm a Te považují za kladné pro působení generátoru a za záporné pro pohyb motoru.
pro studie stability je nutné najít výraz pro úhlovou polohu rotoru stroje jako funkci času t. protože je však větší zájem o úhel posunutí a relativní rychlost, je vhodnější měřit úhlovou polohu a úhlovou rychlost vzhledem k synchronně rotujícímu referenčnímu rámu se synchronní rychlostí $ {{\omega }_{SM}}$. Poloha rotoru tak může být popsána následujícím způsobem:
$ \ begin{matrix} {{\theta }_{m}}={{\omega }_{sm}}+{{\delta } _ {m}} & {} & \left (3 \right) \\ \ end{matrix}$
deriváty θm mohou být vyjádřeny jako
$ \ begin{align} & \ begin{matrix} \frac{d {{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{sm}}+\frac{d{{\delta }_{m}}}{dt}} & {} & \ left (4 \ right) \ \ \ end{matrix} \\ & \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}=\frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}} {d{{t}}}^{2}}} & {} & \ left (5 \ right) \\ \ end{matrix} \\ \ end{align}$
nahrazující Eq. 5 do Eq. 2 výnosy
$J \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}} {d{{t}^{2}}}={{T}_{a}}={{T}_{m}} – {{T}_{e}} & {} & \left (6 \ right) \\ \ end{matrix}$
násobení Eq. 6 úhlovou rychlostí rotoru transformuje točivou rovnici na výkonovou rovnici. Proto
$J {{\omega }_{m}} \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}} {d{{t}^{2}}}={{\omega }_{m}}{{T}_{a}}={{\omega }_{m}}{{T}_{m}} – {{\omega }_{m}}{{T}_{e}} & {} & \left (7 \ right) \\ \ end{matrix}$
nahrazením ${{\omega }_{m}}T $ by P a $J {{\omega }_{m}}$ by M se získá tzv. Houpací rovnice popisuje, jak se rotor stroje pohybuje nebo houpá vzhledem k synchronně rotujícímu referenčnímu rámu za přítomnosti poruchy,tj.
$M \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}} {d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \vlevo (8 \vpravo) \\\konec{matrix}$
kde
M = Jw = setrvačná konstanta
Pa = Pm– Pe = čistý urychlovací výkon
Pm = wTm = hřídel příkon korigovaný pro rotační ztráty
Pe = wTe = elektrický výkon korigovaný pro elektrické ztráty
je možné poznamenat, že setrvačná konstanta byla vzata rovna součinu momentu setrvačnosti J a úhlová rychlost WM, která se ve skutečnosti mění během porucha. Za předpokladu, že stroj neztrácí synchronizaci, je však variace wm poměrně malá. M se tedy obvykle považuje za konstantu.
další konstanta, která se často používá, protože její rozsah hodnot pro konkrétní typy rotujících strojů je poměrně úzký, je tzv. normalizovaná setrvačná konstanta h. souvisí s M takto:
$\begin{matrix} H=\frac{1}{2}\frac{M {{{S} _{S}}} {{{s}_{hodnocené}}} {}^{MJ}/{}_{MVA} & {} & \left (9 \ right) \\ \ end{matrix} $
řešení pro M z Eq. 9 a nahrazením do 8 se získá houpací rovnice vyjádřená v na jednotku. Tak,
\
je třeba poznamenat, že úhel δm a úhlová rychlost wm v Eq. 10 jsou vyjádřeny v mechanických radiánech a mechanických radiánech za sekundu. U synchronního generátoru s póly p, úhel elektrického výkonu a radiánská frekvence souvisejí s odpovídajícími mechanickými proměnnými následovně:
$ \ begin{matrix} \ begin{align} & \delta \left( t \right)= \ frac{p}{2} {{\delta }_{m}}\left (t \ right) \ \ & \omega \ left (t \right)= \ frac{p}{2} {{\omega }_{m}}\left (t \ right) \\ \ end{align} & {} & \left (11 \ right) \\ \ end{matrix} $
podobně synchronní elektrická radiánská frekvence souvisí se synchronní úhlovou rychlostí takto:
$ \ begin{matrix} {{\omega }_{s}}= \ frac{p}{2} {{\omega }_{sm}} & {} & \left (12 \ right) \\ \ end{matrix} $
proto je na jednotku swing rovnice Eq. 10 může být vyjádřeno v elektrických jednotkách a má podobu Eq. 13.
$ \ frac{2H} {{{\omega }_{s}}} \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta} {d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (13 \ right) \\ \ end{matrix}$
v závislosti na jednotce úhlu δ, Eq. 13 má podobu buď Eq. 14 nebo Eq. 15. Rovnice výkyvu na jednotku má tedy podobu:
$ \ frac{H} {\pi f} \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (14 \ right) \\ \ end{matrix}$
When δ is in electric degrees, or
$\frac{H}{180f} \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}} – {{P}_{e}} & {} & \left (15 \ right) \\ \ end{matrix} $
když δ je v elektrických stupních.
když dojde k poruše, dojde k nevyváženosti příkonu a výkonu, čímž vznikne čistý zrychlující moment. Řešení houpací rovnice ve formě diferenciální rovnice (14) nebo (15) se vhodně nazývá výkyvná křivka δ (t).