Svingekvation
rörelsen hos en synkron maskin styrs av Newtons rotationslag, som säger att produkten av tröghetsmomentet gånger vinkelaccelerationen är lika med nettoaccelerationsmomentet. Matematiskt kan detta uttryckas enligt följande:
$\börja{matrix} J \ alpha = {{T}_{a}} = {{t}_{m}} – {{T} _ {e}} & {} & \vänster (1 \ höger) \ \ \ end{matrix}$
ekvation 1 kan också skrivas i termer av vinkelpositionen enligt följande:
$ \ begin{matrix} J \ frac{{{d}^{2}} {{\theta } _ {m}}} {d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}} = {{T}_{m}} – {{T} _ {e}} & {} & \vänster( 2 \höger) \\\end{matrix}$
där
J = Rotorns tröghetsmoment
Ta = netto accelererande vridmoment eller algebraisk summan av alla vridmoment som verkar på maskinen
Tm = axelmoment korrigerat för rotationsförlusterna inklusive friktion och vind och kärnförluster
Te = elektromagnetiskt vridmoment
enligt konvention tas värdena för TM och te som positiva för generatorverkan och negativa för motorverkan.
för stabilitetsstudier är det nödvändigt att hitta ett uttryck för maskinrotorns vinkelposition som en funktion av tiden t. eftersom förskjutningsvinkeln och den relativa hastigheten är av större intresse är det emellertid bekvämare att mäta vinkelposition och vinkelhastighet med avseende på en synkront roterande referensram med en synkron hastighet på${{\omega }_{sm}}$. Således kan rotorpositionen beskrivas med följande:
$ \ begin{matrix} {{\theta }_{M}} = {{\omega }_{sm}} + {{\delta }_{m}} & {} & \left (3 \ right) \ \ \ end{matrix}$
derivaten av exporten kan uttryckas som
$ \ begin{align} & \ begin{matrix} \ frac{d {{\theta }_{m}}}{dt} = {{\omega }_{sm}}+ \ frac{d {{\delta }_{m}}}{dt} & {} & \Vänster (4 \höger) \\ \ end{matrix} \ \ & \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\theta }_{m}}}{d {{t}^{2}}}= \ frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {d{{t}^{2}}} & {} & \vänster (5 \ höger) \\\end{matrix} \ \ \ end{align}$
ersätta Eq. 5 till Eq. 2 utbyten
$J \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}} {d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}} = {{T}_{m}} – {{T} _ {e}} & {} & \vänster (6 \ höger) \ \ \ end{matrix}$
multiplicera Eq. 6 genom rotorns vinkelhastighet omvandlas vridmomentekvationen till en effektekvation. Således
$J {{\omega }_{m}} \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}} {d{{t}^{2}}}={{\omega} _ {M}}{{T}_{a}}={{\omega }_{M}}{{T}_{M}}-{{\omega }_{m}}{{T} _ {e}} & {} & \vänster (7 \höger) \\\end{matrix}$
ersätter ${{\omega }_{m}}T$med P och $J {{\omega }_{m}}$ med M, erhålls den så kallade svängningsekvationen. Svängekvationen beskriver hur maskinrotorn rör sig eller svänger med avseende på den synkront roterande referensramen i närvaro av en störning, det vill säga när nettoaccelerationskraften inte är noll.
$m \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}} {d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \vänster( 8 \höger) \\\end{matrix}$
där
m = Jw = tröghetskonstant
Pa = Pm– Pe = netto accelererande effekt
Pm = WTM = axel effektingång korrigerad för rotationsförlusterna
Pe = WTE = elektrisk effektutgång korrigerad för de elektriska förlusterna
det kan noteras att tröghetskonstanten togs lika med produkten av tröghetsmomentet J och vinkelhastigheten WM, som faktiskt varierar under a störning. Förutsatt att maskinen inte förlorar synkronisering är variationen i wm dock ganska liten. Således behandlas M vanligtvis som en konstant.
en annan konstant, som ofta används eftersom dess värdeområde för vissa typer av roterande maskiner är ganska smalt, är den så kallade normaliserade tröghetskonstanten H. Den är relaterad till M enligt följande:
$ \ begin{matrix} H= \ frac{1}{2}\frac{M {{\omega }_{sm}}}{{{s}_{rated}}}{}^{mj}/{}_{MVA} & {} & \vänster (9 \ höger) \ \ \ end{matrix}$
lösa för M från Eq. 9 och att ersätta i 8 ger svängningsekvationen uttryckt i per enhet. Således,
\
det kan noteras att vinkeln kazakm och vinkelhastighet wm i Eq. 10 uttrycks i mekaniska radianer respektive mekaniska radianer per sekund. För en synkron generator med p-poler är den elektriska kraftvinkeln och radianfrekvensen relaterade till motsvarande mekaniska variabler enligt följande:
$ \ begin{matrix} \ begin{align} & \ delta \ left (t \ right)= \ frac{p}{2} {{\delta }_{m}} \ left (t \ right) \ \ & \ omega \ left (t \ right)=\frac{p}{2} {{\omega }_{m}} \ left (t \ right) \ \ \ end{align} & {} & \vänster (11 \höger) \\ \ end{matrix}$
på samma sätt är den synkrona elektriska radianfrekvensen relaterad till synkron vinkelhastighet enligt följande:
$ \ begin{matrix} {{\omega }_{s}}= \ frac{p}{2} {{\omega }_{sm}} & {} & \vänster (12 \ höger) \ \ \ end{matrix}$
därför är den per enhet swing ekvationen för Eq. 10 kan uttryckas i elektriska enheter och har formen av Eq. 13.
$ \ frac{2H} {{{\omega }_{s}}} \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d {{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \vänster (13 \ höger) \ \ \ end{matrix}$
beroende på enheten för vinkeleni, ekv. 13 har formen av antingen Eq. 14 eller Eq. 15. Således tar svängningsekvationen per enhet formen:
$ \ frac{H} {\pi f} \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \vänster( 14 \höger) \\\end{matrix}$
när exporten är i elektriska grader, eller
$ \ frac{h}{180f} \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \left (15 \ right) \ \ \ end{matrix}$
när exporten är i elektriska grader.
när en störning uppstår uppstår en obalans i effektingången och effektutgången, vilket ger ett nettoaccelererande vridmoment. Lösningen av svängningsekvationen i form av differentialekvationen för (14) eller (15) kallas lämpligt svängkurvan 2x (t).