Swingvergelijking
de beweging van een synchrone machine wordt beheerst door de rotatiewet van Newton, die stelt dat het product van het traagheidsmoment maal de hoekversnelling gelijk is aan het netto versnellings-koppel. Wiskundig kan dit als volgt worden uitgedrukt:
$\begin{matrix} J\alpha ={{t}_{a}}={{T}_{m}} – {{t}_{e}} & {} & \left (1 \right) \ \ \ end{matrix}$
vergelijking 1 kan ook als volgt worden geschreven in termen van de hoekpositie:
$\begin{matrix} J\frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{T}_{a}}={{T}_{m}}-{{T}_{e}} & {} & \links( 2 \right) \\\end{matrix}$
waar
J = traagheidsmoment van de rotor
Ta = netto versnellen koppel of algebraïsche som van alle momenten die op de machine
Tm = koppel op de as gecorrigeerd voor de rotatie schade, met inbegrip van de wrijving en windage en core verliezen
Te = elektromagnetische koppel
Door het verdrag, de waarden van Tm en Te worden genomen als positief voor de generator actie en negatief voor de motorische actie.
voor stabiliteitsstudies is het noodzakelijk een uitdrukking te vinden voor de hoekpositie van de machinerotor als functie van tijd t. omdat de verplaatsingshoek en relatieve snelheid echter van groter belang zijn, is het handiger om de hoekpositie en de hoeksnelheid te meten ten opzichte van een synchroon roterend referentieframe met een synchrone snelheid van${{\omega }_{sm}}$. De positie van de rotor kan dus als volgt worden beschreven::
$\begin{matrix} {{\theta }_{m}}={{\omega }_{sm}}+{{\delta }_{m}} & {} & \links( 3 \right) \\\end{matrix}$
De afgeleide van θm kan worden uitgedrukt als
$\begin{align} & \begin{matrix} \frac{d{{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{sm}}+\frac{d{{\delta }_{m}}}{dt} & {} & \links( 4 \right) \\\end{matrix} \\ & \begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}=\frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}} & {} & \links( 5 \right) \\\end{matrix} \\\end{align}$
Vervangen door Eq. 5 in Eq. 2 geeft
$J \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}}{d {{t}^{2}}}={{T}_{a}}={{t}_{m}} – {{t}_{e}} & {} & \left (6 \ right) \ \ \ end{matrix}$
vermenigvuldigen van Eq. 6 door de hoeksnelheid van de rotor transformeert de koppelvergelijking in een vermogensvergelijking. Dus,
$J{{\omega }_{m}}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{\omega }_{m}}{{T}_{a}}={{\omega }_{m}}{{T}_{m}}-{{\omega }_{m}}{{T}_{e}} & {} & \links( 7 \right) \\\end{matrix}$
Vervangen van ${{\omega }_{m}}T$P en $J{{\omega }_{m}}$ door M, de zogenaamde swing vergelijking is verkregen. De swingvergelijking beschrijft hoe de machinerotor beweegt of schommelt ten opzichte van het synchroon roterende referentieframe in aanwezigheid van een storing, dat wil zeggen wanneer het netto versnellende vermogen niet nul is.
$M\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}}{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \links( 8 \right) \\\end{matrix}$
waar
M = Jw = inertie constante
Pa = Pm– Pe = netto versnellen vermogen
Pm = wTm = as vermogen gecorrigeerd voor de rotatie verliezen
Pe = wTe = elektrische vermogen gecorrigeerd voor de elektrische verliezen
Het kan worden opgemerkt dat de snelheid constant is genomen gelijk aan het product van het traagheidsmoment J en de hoeksnelheid wm, die eigenlijk varieert tijdens een verstoring. Op voorwaarde dat de machine het synchronisme niet verliest, is de variatie in wm echter vrij klein. Zo wordt M meestal behandeld als een constante.
een andere constante, die vaak wordt gebruikt omdat het bereik van waarden voor bepaalde typen roterende machines vrij smal is, is de zogenaamde genormaliseerde inertieconstante H. deze is als volgt gerelateerd aan M:
$\begin{matrix} H=\frac{1}{2}\frac{M {{{\omega }_{sm}}}{{{s}_{rated}}}{}^{MJ} / {}_{MVA} & {} & \links (9 \ rechts) \ \ \ end{matrix}$
oplossen voor M van Eq. 9 en vervangen door 8 levert de swing vergelijking uitgedrukt in per eenheid. Aldus,
\
Opgemerkt zij dat de hoek δm en de hoeksnelheid wm in Eq. 10 worden uitgedrukt in respectievelijk mechanische radialen en mechanische radialen per seconde. Voor een synchrone generator met p-Polen zijn de elektrische vermogenshoek en de radiofrequentie als volgt gerelateerd aan de overeenkomstige mechanische variabelen::
$\begin{matrix} \begin{align} & \delta \left( t \right)=\frac{p}{2}{{\delta }_{m}}\left( t \right) \\ & \omega \left( t \right)=\frac{p}{2}{{\omega }_{m}}\left( t \right) \\\end{align} & {} & \links( 11 \right) \\\end{matrix}$
Ook de synchrone elektrische radialen frequentie is in verband met synchrone hoeksnelheid als volgt:
$\begin{matrix} {{\omega }_{s}}=\frac{p}{2}{{\omega }_{sm}} & {} & \links( 12 \right) \\\end{matrix}$
Daarom de per-unit swing vergelijking van Eq. 10 kan worden uitgedrukt in elektrische eenheden en neemt de vorm aan van Eq. 13.
$ \ frac{2H}{{{\omega }_{s}}} \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{D{{t}^{2}}}={{p}_{a}}={{p}_{m}} – {{p}_{e}} & {} & \left (13 \ right) \ \ \ end{matrix}$
afhankelijk van de eenheid van de hoek δ, Eq. 13 neemt de vorm aan van een van beide Eq ‘ s. 14 of Eq. 15. Zo neemt de swingvergelijking per eenheid de vorm aan:
$\frac{H}{\pi f}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \links( 14 \right) \\\end{matrix}$
Wanneer de δ is in elektrische graden, of
$\frac{H}{180f}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{a}}={{P}_{m}}-{{P}_{e}} & {} & \links( 15 \right) \\\end{matrix}$
Wanneer de δ is in elektrische graden.
wanneer een storing optreedt, ontstaat een onbalans in het in-en uitgangsvermogen, waardoor een netto acceleratiekoppel ontstaat. De oplossing van de schommelvergelijking in de vorm van de differentiaalvergelijking van (14) of (15) wordt op passende wijze de schommelcurve δ (t) genoemd.