Svingligning
bevegelsen til en synkron maskin styres Av Newtons rotasjonslov, som sier at produktet av treghetsmomentet ganger vinkelakselerasjonen er lik nettakselerasjonsmomentet. Matematisk kan dette uttrykkes som følger:
$\start{matrix} j\alpha = {{T} _ {a}}={{T} _ {m}} – {{t}_{e}} & {} & \venstre (1 \ høyre) \\ \ end{matrix}$
Ligning 1 kan også skrives i form av vinkelposisjonen som følger:
$ \ begin{matrix} J \ frac{{{d}^{2}}{{\theta} _ {m}}}{d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}}={{T} _ {m}} – {{t} _ {e}} & {} & \venstre( 2 \høyre) \\\end{matrix}$
hvor
j = rotormoment
Ta = netto akselerasjonsmoment eller algebraisk sum av alle dreiemomenter som virker på maskinen
Tm = akselmoment korrigert for rotasjonstapene, inkludert friksjon og vind og kjernetap
Te = elektromagnetisk dreiemoment
ved konvensjon er verdiene for tm og te tatt som positive for generatorhandling og negativ for motorhandling.
for stabilitetsstudier er det nødvendig å finne et uttrykk for vinkelposisjonen til maskinrotor som en funksjon av tid t. men fordi forskyvningsvinkelen og relativ hastighet er av større interesse, er det mer praktisk å måle vinkelposisjon og vinkelhastighet med hensyn til en synkront roterende referansestamme med en synkron hastighet på${{\omega }_{sm}}$. Dermed kan rotorposisjonen beskrives ved følgende:
$ \ begin{matrix} {{\theta} _ {m}}={{\omega } _ {sm}} + {{\delta } _ {m}} & {} & \venstre (3 \høyre) \ \ \ end{matrix}$
derivatene av θ kan uttrykkes som
$\begin{align} & \begin{matrix} \frac{d{{\theta }_{m}}}{dt}={{\omega }_{sm}}+\frac{d{{\delta }_{m}}}{dt} & {} & \venstre( 4 \ høyre) \ \ \ end{matrix} \ \ & \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}{{\theta} _ {m}}} {d{{t}^{2}}=\frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}} {d{{t}}^{2}}} & {} & \ venstre (5 \ høyre) \ \ \ end{matrix} \\ \ end{align}$
Erstatte Eq. 5 Til Eq. 2 utbytter
$j \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}}{d{{t}^{2}}}={{T} _ {a}}={{T} _ {m}} – {{t} _ {e}} & {} & \venstre (6 \høyre) \ \ \ end{matrix}$
Multiplisere Eq. 6 ved vinkelhastigheten til rotoren forvandler dreiemomentligningen til en kraftligning. Dermed
$J {{\omega }_{m}} \ beginn{matrix} \frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}} {d{{t}^{2}}}={{\i tillegg til å være en av de beste i verden, kan du også velge en av de beste i verden.}} & {} & \ venstre (7 \ høyre) \ \ \ end{matrix}$
Erstatte ${{\omega }_{m}}t$Av P Og $J {{\omega }_{m}} $ Av M, den såkalte svingligningen er oppnådd. Svingekvasjonen beskriver hvordan maskinrotor beveger seg eller svinger, med hensyn til den synkront roterende referansestammen i nærvær av en forstyrrelse, det vil si når nettakselererende kraft ikke er null.
$m \ begin{matrix} \frac{{{d}^{2}} {{\delta } _ {m}}}{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}}={{P} _ {m}} – {{P} _ {e}} & {} & \venstre( 8 \høyre) \\\end{matrix}$
hvor
M = Jw = treghetskonstant
Pa = Pm– Pe = netto akselererende effekt
Pm = wTm = akselstrøminngang korrigert for rotasjonstap
Pe = wTe = elektrisk effekt korrigert for elektriske tap
det kan bemerkes at treghetskonstanten ble tatt lik produktet av treghetsmomentet j og vinkelhastigheten wm, som faktisk varierer under en forstyrrelse. Forutsatt at maskinen ikke mister synkronisering, er variasjonen i wm ganske liten. Dermed blir M vanligvis behandlet som en konstant.
En annen konstant, som ofte brukes fordi verdiområdet for bestemte typer roterende maskiner er ganske smalt, er den såkalte normaliserte treghetskonstanten H. den er relatert Til M som følger:
$\begin{matrix} h=\frac{1}{2}\frac{m {{\omega }_{sm}}}{{{s}_{rated}}}{}^{mj} / {} _ {MVA} & {} & \venstre (9 \ høyre) \ \ \ end{matrix}$
Løse For M fra Eq. 9 og substituere til 8 gir swing ligningen uttrykt i per enhet. Dermed,
\
det kan noteres at vinkelen δ og vinkelhastighet wm i Eq. 10 uttrykkes i henholdsvis mekaniske radianer og mekaniske radianer per sekund. For en synkron generator med p-poler er elektrisk kraftvinkel og radianfrekvens relatert til de tilsvarende mekaniske variablene som følger:
$ \ begin{matrix} \ begin{align} &\delta \venstre( t\høyre)= \ frac{p}{2}{{\delta} _ {2} {{\delta} _ {m}} \ venstre (t \ høyre) \ \ \ ende{align} & {} & \venstre (11 \ høyre) \\ \ end{matrix}$
på Samme måte er den synkrone elektriske radianfrekvensen relatert til synkron vinkelhastighet som følger:
$ \ begin{matrix} {{\omega }_{s}}=\frac{p}{2} {{\omega }_{sm}} & {} & \venstre (12 \ høyre) \ \ \ end{matrix}$
Derfor per-enhet swing ligningen Av Eq. 10 kan uttrykkes i elektriske enheter og tar Form Av Eq. 13.
$\frac{2h} {{{\omega } _ {s}}} \ beginn{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}}={{P} _ {m}} – {{P} _ {e}} & {} & \venstre (13 \ høyre) \\ \ end{matrix}$
Avhengig av enheten til angle δ, Eq. 13 tar form av Enten Eq. 14 Eller Eq. 15. Dermed tar per-enhet swing ligningen form:
$ \ frac{H}{\pi f} \ begin{matrix} \ frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}}={{P} _ {m}} – {{P} _ {e}} & {} & \venstre (14 \ høyre) \ \ \ end{matrix}$
når δ er i elektriske grader, eller
$\frac{H}{180f}\begin {matrix} \frac{{{d}^{2}} \ delta }{d{{t}^{2}}}={{P} _ {a}}={{P} _ {m}} – {{P} _ {e}} & {} & \venstre (15 \ høyre) \\\end{matrix}$
når δ er i elektriske grader.
når en forstyrrelse oppstår, oppstår en ubalanse i strøminngangen og effekten, noe som gir et netto akselerasjonsmoment. Løsningen av svingligningen i form av differensialligningen av (14) eller (15) kalles hensiktsmessig svingkurven δ (t).