Swing-yhtälö
synkronikoneen liikettä säätelee Newtonin pyörimislaki, jonka mukaan hitausmomentin tulo kertaa Kulmakiihtyvyys on yhtä suuri kuin kiihtyvän nettomomentti. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti:
$\begin{matrix} j\alpha ={{T}_{a}} = {{t}_{m}} – {{T} _ {e}} & {} & \left (1 \right) \\\end {matrix}$
yhtälö 1 voidaan kirjoittaa myös kulmapaikan mukaan seuraavasti:
$\begin{matriisi} J\frac {{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{T}_{A}} = {{T}_{m}} – {{T} _ {e}} & {} & \vasen (2 \right) \\\end{matriisi}$
jossa
J = Roottorin hitausmomentti
Ta = kiihtyvä nettomomentti tai kaikkien koneeseen vaikuttavien vääntömomenttien algebrallinen summa
Tm = akselimomentti korjattuna pyörimishäviöillä, mukaan lukien kitka ja tuulivoima sekä ydinhäviöt
te = sähkömagneettinen vääntömomentti
käytännön mukaan TM: n ja te: n arvoja pidetään positiivisina generaattorin toiminnan osalta ja negatiivisina moottorin toiminnan osalta.
stabiilisuustutkimuksissa on tarpeen löytää lauseke koneen roottorin kulmapaikalle ajan t funktiona. koska siirtokulma ja suhteellinen nopeus ovat kuitenkin merkittävämpiä, on helpompi mitata kulmaa ja kulmanopeutta suhteessa synkronisesti pyörivään viitekehykseen, jonka synkroninen nopeus on${{\omega }_{sm}}$. Roottorin sijaintia voidaan siis kuvata seuraavasti:
$\begin{matrix} {{\theta }_{m}} = {{\omega } _ {sm}} + {{\delta } _ {m}} & {} & \left (3 \right) \\\end {matrix}$
θm: n derivaatat voidaan ilmaista muodossa
$\begin {align} & \begin{matrix} \frac{d {{\theta }_{m}}}{DT}={{\omega } _{sm}} + \frac{d {{\delta } _ {m}}} {dt} & {} & \Vasen (4 \right) \\\end {matriisi} \\ & \begin{matriisi} \frac {{{{d}^{2}}{{\theta }_{m}}}{d{{T}^{2}}}=\frac {{{{d}^{2}} {{\delta} _{M}}} {d {{t}^{2}}} & {} & \vasen (5 \right) \\\end{matriisi} \\\end{align}$
korvaa taajuuskorjain. 5 ekv. 2 tuotokset
$j\begin{matriisi} \frac {{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {d {{t}^{2}}}={{T}_{A}} = {{T}_{m}} – {{T} _ {e}} & {} & \vasen (6 \right) \\\end {matrix}$
kertomalla ekv. 6 by kulmanopeus roottorin muuttaa vääntömomentin yhtälö tulee teho yhtälö. Näin ollen
$J {{\omega }_{m}}\begin{matrix} \frac {{{{d}^{2}} {{\delta }_{m}}} {D {{t}^{2}}}={{\omega }_{m}}{{T}_{a}}={{\omega } _ {m}}{{t}_{m}}-{{\omega } _ {m}}{{t} _ {e}} & {} & \left (7 \right) \\\end{matrix}$
korvaa ${{\omega }_{m}}t$by P ja $J{{\omega }_{m}}$ by M, saadaan niin sanottu swing-yhtälö. Swing-yhtälö kuvaa, miten koneen roottori liikkuu eli keinuu suhteessa synkronisesti pyörivään viitekehykseen häiriön läsnä ollessa, eli silloin, kun nettokiihdytysteho ei ole nolla.
$m\begin {matriisi} \frac {{{{d}^{2}}{{\delta }_{m}}} {d{{t}^{2}}}={{P}_{A}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \left( 8 \right) \\\end{matrix}$
where
m = JW = inertiavakio
Pa = Pm– Pe = nettokiihdytysteho
Pm = WTM = akselin ottoteho korjattuna pyörimishäviöillä
Pe = WTE = sähköteho korjattuna sähköhäviöillä
voidaan todeta, että hitausvakio otettiin yhtä suureksi kuin hitausmomentin j ja kulmanopeuden WM tulo, joka todellisuudessa vaihtelee a häiriö. Mikäli kone ei menetä synkronisuutta, wm: n vaihtelu on kuitenkin melko pientä. Täten M: ää käsitellään yleensä vakiona.
toinen vakio, jota usein käytetään, koska sen arvoalue tietyntyyppisille pyöriville koneille on melko kapea, on niin sanottu normalisoitu inertiavakio H. Se liittyy M: ään seuraavasti:
$\begin{matriisi} h=\frac{1}{2}\frac{M{{\omega }_{sm}}}{{{s}_{rated}}} {}^{MJ} / {} _ {MVA} & {} & \vasen (9 \right) \\\end{matrix}$
Solving for M from Eq. 9 ja korvaamalla osaksi 8 tuottaa swing yhtälö ilmaistuna per yksikkö. Näin,
\
voidaan todeta, että kulma δm ja kulmanopeus wm Eq. 10 ilmaistaan mekaanisina radiaaneina ja mekaanisina radiaaneina sekunnissa. P-napaisella synkronigeneraattorilla sähkötehokulma ja radiaanitaajuus liittyvät vastaaviin mekaanisiin muuttujiin seuraavasti:
$\begin{matrix} \begin {align} & \Delta \left( t \right) = \frac{P}{2}{{\delta }_{m}}\left( t \right) \\ & \omega \left (t \right)=\frac{P}{2} {{\omega } _ {m}}\left( t \right) \\\end{align} & {} & \left (11 \right) \\\end{matrix}$
vastaavasti synkroninen sähköinen radiataajuus liittyy synkroniseen kulmanopeuteen seuraavasti:
$\begin{matrix} {{\omega }_{s}}=\frac{p}{2} {{\omega } _ {sm}} & {} & \left (12 \right) \\\end{matrix}$
näin ollen yksikkökohtainen swing-yhtälö ekv. 10 voidaan ilmaista sähköyksikköinä ja se on muodoltaan taajuuskorjain. 13.
$\frac{2H}{{{\omega }_{s}}}\begin{matrix} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d {{t}^{2}}}={{P}_{A}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \vasen (13 \ right) \\\end{matriisi}$
riippuen kulman δ yksiköstä, ekv. 13 on muodoltaan joko Eq. 14 tai ekv. 15. Näin yksikkökohtainen swing-yhtälö saa muodon:
$\frac{H}{\pi F}\begin{matrix} \frac {{{{d}^{2}}\delta }{d{{t}^{2}}}={{P}_{A}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \vasen (14 \ right) \\\end {matriisi}$
kun δ on sähköasteessa, tai
$\frac{H}{180F}\begin{matriisi} \frac{{{d}^{2}}\delta }{d {T}^{2}}}={{P}_{A}} = {{P}_{m}} – {{P} _ {e}} & {} & \vasen (15 \ right) \\\end {matriisi}$
, kun δ on sähköasteissa.
häiriön sattuessa syntyy ottotehon ja-lähdön epätasapaino, joka tuottaa kiihdyttävän nettomomentin. Swing-yhtälön ratkaisua differentiaaliyhtälön muodossa (14) tai (15) kutsutaan sopivasti swing-käyräksi δ (t).